MỘT SỐ GIẢI PHÁP NHẰM NÂNG CAO HOẠT ĐỘNG QUẢN TRỊ NGUỒN NHÂN LỰC CỦA CÔNG TY CỔ PHẦN SỮA VIỆT phái nam 123 20,000 5,000


Bạn đang xem: Bài tập giải tích 1 có lời giải

BÀI TẬP GIẢI TÍCH A1 Ts. Lê Xuân Đại Ngày 7 mon 7 năm 2011 Mục lục 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3 1.1 tư tưởng dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 đặc thù của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 gần như khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 đặc điểm của giới hạn hữu hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 số lượng giới hạn vô thuộc của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Dãy nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 mối quan hệ giữa số lượng giới hạn riêng và số lượng giới hạn của hàng số hội tụ . . . . 6 1.3 số lượng giới hạn của dãy solo điệu. Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Các phương thức tìm số lượng giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Dùng biến hóa đại số nhằm tìm số lượng giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 cần sử dụng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Sử dụng giới hạn cơ phiên bản lim n→+∞ q n = 0, |q| 0 nhằm tìm số lượng giới hạn của hàng 11 1.4.5 sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy solo điệu . . 11 1.4.6 Tìm giới hạn của dãy số dùng số lượng giới hạn cơ bạn dạng lim n→∞ (1 + u n ) 1 u n = e, hiểu được khi n → ∞ thì u n → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.7 Dùng quan hệ giữa số lượng giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để minh chứng dãy số phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17 2.1 giới hạn của hàm số trên một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 giới hạn của hàm số xuất phát điểm từ một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 2.3 số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số trên điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 giới hạn vô thuộc của hàm số trên một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 giới hạn vô cùng của hàm số trên điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 số lượng giới hạn vô cùng nhỏ xíu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 số lượng giới hạn vô cùng phệ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 đặc thù của hàm vô cùng bé bỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . đôi mươi 2.9 số lượng giới hạn của hàm phù hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trăng tròn 2.10 Những số lượng giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . đôi mươi 2.11 so sánh hàm vô cùng bé bỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.12 mọi hàm vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.13 so sánh hàm vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14 bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14.1 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng bé xíu tương đương 22 2.14.2 so sánh những hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.3 Tìm số lượng giới hạn của hàm một biến bằng cách thay cực kỳ lớn tương tự 24 2.14.4 đối chiếu những vô cùng béo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.5 Tìm giới hạn của hàm một phát triển thành dùng số lượng giới hạn cơ phiên bản lim x→0 (1+u(x)) 1 u(x) = e, hiểu được khi x → a thì u(x) → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.14.6 Tìm giới hạn của biểu thức tất cả dạng f(x) g(x) khi x → a . . . . . . . . 25 2 Chương 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 định nghĩa dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N −→ R từ tập thích hợp số thoải mái và tự nhiên lên tập đúng theo số thực R được gọi là dãy số. Dãy số được kí hiệu là (x n ). 1.1.2 đặc điểm của hàng số 1. Tính tăng và tính giảm. Định nghĩa 1.1.2 hàng số (x n ) được gọi là hàng tăng (dãy giảm) trường hợp như với tất cả n ∈ N luôn luôn có bất đẳng thức x n 0 cần ta chỉ việc chứng minh x n+1 x n > 1. Ta có x n+1 x n = (1 + 1 n+1 ) n+1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n+1 ) n+1 ( n+1 n ) n =  n+2 n+1 n+1 n  n+1 . N + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n+1 . N + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n+1 . N + 1 n >  1 − 1 n + 1  . N + 1 n = n n + 1 . N + 1 n = 1 (Bất đẳng thức Bernuli.) chứng minh rằng, nếu số h > −1 cùng h = 0 thì luôn luôn có bất đẳng thức (1 + h) n > 1 + nh với đa số số thoải mái và tự nhiên n  2. Chăm chú rằng vệt đẳng thức gồm được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Do vậy x n 0 bắt buộc ta chỉ cần chứng minh x n x n+1 > 1. Ta gồm x n x n+1 = (1 + 1 n ) n+1 (1 + 1 n+1 ) n+2 = ( n+1 n ) n+1 ( n+2 n+1 ) n+2 =  n+1 n n+2 n+1  n+2 . N n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . N n + 1 =  1 + 1 n(n + 2)  n+2 . N n + 1 >  1 + 1 n  . N n + 1 = n + 1 n . N n + 1 = 1. Chăm chú rằng lốt bất đẳng thức gồm được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Bởi vậy x n > x n+1  2. Tính bị chặn. Định nghĩa 1.1.3 hàng số (x n ) ⊂ R được điện thoại tư vấn là bị ngăn trên (dưới), trường hợp như vĩnh cửu số ∃M ∈ R (m ∈ R), sao cho với hồ hết ∀n ∈ N luôn luôn có x n  M(x n  m). Số M (m) được call là cận trên (cận dưới) của dãy (x n ). Định nghĩa 1.1.4 hàng số (x n ) ⊂ R được điện thoại tư vấn là bị chặn, nếu như nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như trường tồn số ∃M, m ∈ R sao để cho với hồ hết ∀n ∈ N luôn luôn có m  x n  M. Định nghĩa 1.1.5 dãy số (x n ) ⊂ R được call là không trở nên chặn bên trên (dưới), nếu như như với đa số số ∀M ∈ R (m ∈ R), vĩnh cửu số hạng của dãy số x n 0 làm sao để cho x n 0 > M (x n 0 0 lấy một ví dụ 1.1.4 dãy số x n = (1 + 1 n ) n , (n ∈ N) bị chặn dưới do số m = 0 với bị ngăn trên vì số M = 4. Triệu chứng minh. Với mọi ∀n ∈ N luôn có x n > 0, cùng x n = (1 + 1 n ) n 0 mãi mãi số N = N(ε) sao cho với phần lớn ∀n > N luôn có bất đẳng thức |x n − a| n 0 và lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. 1.2.3 giới hạn vô cùng của hàng số Định nghĩa 1.2.4 Số +∞(−∞; ∞) được gọi giới hạn của hàng số (x n ) ⊂ R, ví như như với đa số ∀M > 0 tồn tại số N = N(M) >) làm sao cho với phần nhiều ∀n > N luôn luôn có bất đẳng thức x n > M(x n M). 5 1.2.4 Dãy bé Định nghĩa 1.2.5 đến dãy số (x n ) ⊂ R cùng n 1 n 0 và lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. Bài xích 1.4.7 Tìm giới hạn lim n→∞ 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Giải. Đặt a n = 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Lúc ấy ta có 1 = n n n n  a n  n 1 + n 2 + . . . + n n n n = n n+1 − n (n − 1)n n = n n − 1 n n . N n − 1 n 2 4 , ∀n ∈ N. Do đó 0 1 ta bao gồm n > n(n+1) 2 ( n √ n−1) 2 . Bởi vì đó với mọi ∀n > 1, 0 1. Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta gồm a = (1 + ( n √ a − 1)) n = 1 + n( n √ a − 1) + n(n + 1) 2 ( n √ a − 1) 2 + . . . + ( n √ a − 1) n . Với a > 1 ta bao gồm a > n( n √ a − 1). Cho nên vì vậy 0 1, cho nên 1 |q| = 1 + h, h > 0. Từ đó theo bất đẳng thức Bernouli ta có 1 |q| n = (1 + h) n > 1 + nh > nh ⇒ 0 1. Giải. Theo bí quyết nhị thức Newton ta có a n = (1 + (a − 1)) n = 1 + n(a − 1) + n(n + 1) 2 (a − 1) 2 + . . . + (a − 1) n . Cùng với a > 1 ta bao gồm a n > n(n+1) 2 (a − 1) 2 . Cho nên vì vậy 0 an dãy an bị chặn trên quả thật như vậy 1 1 1 1 1 1 an = + 2 + + n 11 bài xích 1. 4.20 chứng tỏ rằng dãy an = 1 1 1 + + n hội tụ + 2 5 +1 5 +1 5 +1 Giải dãy an là dãy đối kháng điệu tăng thiệt vậy, vày an +1 = an + 1 5n +1 +1 bắt buộc an +1 > an dãy an bị ngăn trên quả thật như vậy an = 1 1 1 1 1 1 + 2 + + n 0, a = 1) x→0 x ln a 3 lim ln (1 + x) =1 x→0 x 4 lim ax − 1 = ln a(a > 0, a = 1) x→0 x 5 lim ex − 1 =1 x→0 x 6 lim (1 + x)µ − 1 = µ(µ ∈ R) x→0 x √ n 1+ x 1 1 8 lim = n (n ∈ N) x→0 x √ 1+ x 1 9 lim =1 2 x→0 x 7 lim trăng tròn 2 .11 so sánh hàm vô cùng nhỏ bé Cho hàm số α = α(x) cùng β = β(x) xác định trên cùng 1 tập xác minh X ⊂ R... Vị lim ( 1) n α n→+∞ n Sử dụng số lượng giới hạn cơ bạn dạng lim 1. 4.4 = 0, α > 0 nhằm tìm giới hạn của hàng 1 ( 1) n + n bài 1. 4 .19 Tìm số lượng giới hạn lim 1 n→∞ 2 − ( 1) n n Giải phân chia tử số và mẫu mã số mang lại ( 1) n ta gồm an = vì thế lim an = lim n→∞ 1. 4.5 n→∞ 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 ( 1) n ( 1) n = lim = 0 n→∞ n→∞ n n2 = 1 vì lim cần sử dụng định lý Weierstrass về việc tồn tại giới hạn của dãy đối chọi điệu Định lý 1. 4.2 Nếu...( 1) n , α>0 n→+∞ nα bài bác 1. 4 .13 I = lim Giải với α > 0 ta tất cả ( 1) n nα 1 nα 1 nα 1 1 = lim α = 0 phải I = 0 α n→∞ n n→∞ n ngoài ra lim Sử dụng số lượng giới hạn cơ bản lim q n = 0, |q| 1 bài xích 1. 4 .17 Tìm giới hạn lim Giải phân chia tử số và chủng loại số mang đến (−6)n ta có một an = 1 5.5n (−6)n 5n −6 cho nên vì vậy lim an = lim n→∞ n→∞ (−6)n =− 5.5n (−6)n 5n (−6)n −6 1 5n do lim = 0 n→∞ (−6)n 6 2n + 3−n n→∞ 2−n − 3n bài bác 1. 4 .18 Tìm giới hạn lim Giải chia tử số và mẫu số cho 3n ta có 2n + 91 n 3n 1 1 6n an = vì vậy lim an = n→∞ 2n 1 n + n lim 3 1 9 n→∞ n − 1 6 2n 1 1 = lim n = . Minh x n +1 x n > 1. Ta tất cả x n +1 x n = (1 + 1 n +1 ) n +1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n +1 ) n +1 ( n +1 n ) n =  n+2 n +1 n +1 n  n +1 . N + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n +1 . N + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n +1 . N + 1 n >  1. Minh x n x n +1 > 1. Ta bao gồm x n x n +1 = (1 + 1 n ) n +1 (1 + 1 n +1 ) n+2 = ( n +1 n ) n +1 ( n+2 n +1 ) n+2 =  n +1 n n+2 n +1  n+2 . N n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . N n + 1 =  1 + 1 n(n +. Lim n→∞ n 2 (n 2 + 1) − n 3 (n + 1) (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ n 2 − n 3 (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ 1 n − 1 (1 + 1 n ) (1 + 1 n 2 ) = 1.

Xem thêm: Cơ Thể Châu Chấu Gồm Mấy Phần? Mô Tả Mỗi Phần Cơ Thể Của Châu Chấu ?

Bài bác 1. 4.2 Tìm số lượng giới hạn I = lim n→∞ (n + 1) 4 − (n − 1) 4 (n 2 + 1) 2 −