MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình số 1 đối với một hàm con số giác

A. Phương pháp


*
trong đó
*
là các hằng số
*
*
là một hàm số lượng giác.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

Cách giải:Chuyển vế rồi phân tách hai vế của phương trình cho
*
, mang lại phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

*
là tập nghiệm của phương trình
*
. Xác minh nào sau đó là đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*

Ta thấy với họ nghiệm

*
, thay
*
ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số địa chỉ điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

*
trên con đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

*

*

*
.

Do đó tất cả 4 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên phố tròn lượng giác là

*
.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

*

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
.B.
*
.C.
*
.D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*
\+2left< (sin ^2x+cos ^2x)^2-2sin ^2xcos ^2x ight>endarray" />

*

*

*

*

*

*

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
*

Phương trình tương đương:

*

*

*

*
.

*

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

II. Phương trình hàng đầu đối với
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình số 1 đối với
*
*
là phương trình bao gồm dạng:

*


Cách giải:Điều kiện để phương trình có nghiệm:
*
.

Chia hai vế của phương trình cho

*
ta được:

*

Do

*
nên đặt
*
.

Khi kia phương trình trở thành:

*
.
*

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Tìm toàn bộ các quý hiếm thực của
*
để phương trình tất cả nghiệm.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
có nghĩa
*
(1)

Phương trình tất cả nghiệm

*
(2)

Từ (1), (2) suy ra không có giá trị nào của

*
để phương trình bao gồm nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào tiếp sau đây vô nghiệm:

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Dựa vào đk có nghiệm của phương trình

*
*
.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

*
*

*

Trên khoảng

*
phương trình gồm một nghiệm là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*

*
.

Phương trình

*
" />

*

*

*

*

Kết hợp với điều khiếu nại ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

*
.

A.

*
.B.
*
.

C.

*
.D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
+sqrt3sin 4x=2" />

*

*

*

*

*

*

*

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác là phương trình gồm dạng:

*
trong đó
*
là các hằng số
*
*
là một hàm số lượng giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác làm cho ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc nhị theo ẩn phụ này. Cuối cùng đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

*
thuộc khoảng
*
là?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, phương trình trở thành:
*
.


Với
*
ta có:
*
.

Do

*
ta có:
*
.

Do

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
(*)

Phương trình

*

*

*
(thỏa mãn điều kiện (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*

*

*
.

*

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm tất cả các cực hiếm thực của tham số

*
để phương trình
*
có nghiệm trên khoảng
*
?

A.

*
.B.

Phương trình

*
.

*

Nhận thấy phương trình

*
không bao gồm nghiệm bên trên khoảng
*
. Do đó phương trình vẫn cho tất cả nghiệm trực thuộc khoảng
*
khi và chỉ còn khi phương trình
*
có nghiệm thuộc
*
*
*

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc nhị đối với
*
*
là phương trình tất cả dạng:

*


Cách giải:
+ soát sổ xem
*
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
*
, chia hai vế của phương trình cho
*
ta nhận được phương trình:
*

Đây là phương trình bậc nhì đối với

*
mà ta đã hiểu cách thức giải.


Chú ý:
+ Phương trình dạng
*
ta có tác dụng như sau:
+ Đối cùng với phương trình đẳng cấp bậc ba:
*

thì giải pháp giải cũng trọn vẹn tương trường đoản cú như trên.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Mệnh đề nào sau đấy là sai?

A.

*
không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

C. Nếu phân chia 2 vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

D. Phương trình đã cho tương đương với

*
.

Lời giải:

Với
*
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy B đúng.


Chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy C sai.


Phương trình
*
.

*

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

*
tương đương với phương trình làm sao sau đây?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:


Xét
*
, rứa vào phương trình ta được:
*
(vô lí).

Do đó

*
không là nghiệm của phương trình.


Với
*
, phân tách cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét
*
, chũm vào phương trình ta được:
*
(vô lí). Vì đó
*
không là nghiệm của phương trình.Xét
*
, phân tách cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*


+ Với
*
:

*
:

*
để phương trình sau có nghiệm:

*

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét
*
, vắt vào phương trình ta được:
*
. Phương trình tất cả nghiệm khi và chỉ còn khi
*
.Xét
*
, phân tách cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*

Nếu
*
ta có:
*
(vô lí).Nếu
*
, phương trình (*) gồm nghiệm
*
thì phương trình sẽ cho có nghiệm. Cho nên vì vậy có 2 quý giá nguyên của
*
thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2:

Phương trình

*

*

Phương trình gồm nghiệm

*

*

Chọn A.

V. Phương trình chứa
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Là phương trình có dạng:
*

Cách giải:Đặt
*
(điều kiện
*
). Biểu diễn
*
theo
*
ta được phương trình cơ bản.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

*
thỏa mãn phương trình
*
. Tính
*
.

A.

*
hoặc
*
.

B.

*
hoặc
*
.

C.

*
hoặc
*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Ta có

*
*

Phương trình trở thành:

*
.

Với

*
, ta được
*
.

Với

*
, ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
.

Đặt

*
" />.

Xem thêm: What Does Swag - Swag Definition & Meaning

*
.

Phương trình trở thành:

*

*

Với

-->