Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Với siêng đề Hệ thức lượng vào tam giác vuông Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm bao gồm lời giải cụ thể với đầy đủ phương pháp giải, lấy ví dụ minh họa để giúp đỡ học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài xích tập Hệ thức lượng vào tam giác vuông từ đó đạt điểm cao trong bài bác thi môn Toán lớp 9.

Bạn đang xem: Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông

*

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

A. Phương pháp giải

*

Cho tam giác ABC vuông góc trên A, đường cao AH. Lúc ấy ta có:

1, c2 = ac", b2 = ab"

2, a2 = b2 + c2

3, ah = bc

4, h2 = b".c"

5, 1/h2 = 1/b2 + 1/c2

B. Bài xích tập từ bỏ luận

Bài 1: Tính x, y trong số trường hòa hợp sau

*
*

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2= AB2+ AC2

BC2= 52+ 72

BC2= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC

=> BD = AB2/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 tốt x = 4.

AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 giỏi y = √48

Bài 2: mang đến tam giác ABC vuông trên A, mặt đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

*

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC2 = CH.BC = 16.BC

AB2 + AC2 = BC2

⇔ 152 + 16.BC = BC2

⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: mang đến tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ nhiều năm phân giác giác góc C

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC2 = 502 = 2500

AB2 + AC2 = 142 + 482 = 2500

=> BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông trên A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta có DA + DB = AB

⇔ da + 25/7 da = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ da = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thiết bị tự D với E. Tính DE.

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ngân hàng á châu và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác ngân hàng á châu ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Bài tập trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 1: mang đến tam giác ABC vuông trên A bao gồm đường cao AH khởi đầu từ A với AB=3; AC=4. Tính độ dài đoạn AH

A. 2,5 cmB. 3cmC. 2,4cmD. 2cm

Câu 2: mang lại tam giác ABC vuông trên A, có AB=9cm, AC=12cm. Độ dài con đường cao AH là:

A. 7,2 cmB. 5cmC.6,4 cmD. 5,4cm

Câu 3: đến tam giac ABC vuông tại A bao gồm AB=2cm, AC=4cm. Độ dài mặt đường cao AH là:

*

Câu 4: Tam giác ABC vuông trên A, tất cả AB=2cm, AC=3cm. Lúc ấy độ dài mặt đường cao AH bằng:

*

Câu 5: mang lại tam giác ABC bao gồm AH là con đường cao bắt đầu từ A, hệ thức nào bên dưới đây chứng minh tam giác ABC vuông tại A

A.BC2 = AB2 + AC2

B.AH2 = HB.HC

C.AB2 = BH.BC

D.A, B, C hầu như đúng.

Câu 6: mang lại tam giác ABC gồm đường cao bắt đầu từ A. Nếu như ∠BAC = 90o thì hệ thức nào sau đây đúng?

A.BC2 = AB2+AC2

B.AH2 = HB.HC

C.AB2 = BH.BC

D.A, B, C phần đa đúng.

Câu 7: đến tam giác ABC tất cả và AH là con đường cao khởi nguồn từ A. Câu làm sao sau đây là đúng?

*

Câu 8: Tam giác ABC vuông gồm đường cao AH( H thuộc cạnh BC). Hình chiếu của H bên trên AB là D, trên AC là E. Câu nào dưới đây sai:

*

Câu 9: đến tam giác ABC nội tiếp mặt đường tròn đường kính BC=10cm. Cạnh AB=5cm, thì độ dài mặt đường cao AH là:

*

Hướng dẫn giải và đáp án

Câu 1: Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2=AB2+AC2

Thay số ta tính được BC=5.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC có: AH.BC = AB.AC

*

Vậy lựa chọn đáp án:C

Câu 2: lựa chọn đáp án: A

Câu 3: chọn đáp án: C

Câu 4: lựa chọn đáp án: A

Câu 5: chọn đáp án: D

Câu 6: chọn đáp án: D

Câu 7: lựa chọn đáp án: C do ∠B + ∠C = 90o suy ra tam giác ABC vuông trên A.

Câu 8: chọn đáp án: D vì:

+ Đáp án A đúng bởi vì AEHD là hình chữ nhật(vì gồm 3 góc vuông) phải 2 đường chéo AH cùng DE bởi nhau.

+ Xét tam giác ABC gồm :

*

Vì AH = DE bắt buộc đáp án B đúng

Từ kia suy ra chọn lời giải D

Câu 9: vì tam giác ABC nội tiếp mặt đường tròn đường kính BC = 10cm cần tam giác ABC vuông trên A. Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: AC2 = BC2 - AB2.

Thay số vào ta tính được: AC= √75cm = 5√3 cm.

Áp dụng hệ thức lượng vào t tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC.

Thay số vào ta tính được: AH = 5√3/2 cm

Vậy lựa chọn đáp án: D

Câu 10: mang đến tam giác ABC vuông trên A, biết AB:AC=3:4, BC=15cm. Độ lâu năm cạnh AB là:A. 9cmB. 10cmC. 6cmD. 3cm

Câu 11: Hình thang ABCD vuông góc nghỉ ngơi A, D. Đường chéo BD vuông góc với kề bên BC biết AD=12cm, BC=20cm. Độ lâu năm cạnh AB là:

A.256/13cmB.9cm giỏi 16cm

C.16cmD.Một kết quả khác

Câu 12: đến tam giác DEF vuông trên D, có DE=3cm, DF=4cm. Khi ấy độ nhiều năm cạnh huyền bằng:A.5cmB. 7cmC.6cmD.10cm

Câu 13: đến tam giác ABC vuông trên A, con đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=13cm. Khi ấy độ nhiều năm đoạn bảo hành bằng:

*

Câu 14: Tam giác ABC vuông tại A, con đường cao AH. Biết AB=3cm, AC=4cm. Khi đó độ nhiều năm đoạn bảo hành bằng:

*

Hướng dẫn giải với đáp án

Câu 10: hotline độ nhiều năm cạnh AB = 3x thì độ dài cạnh AC = 4x. Áp dụng định lý py-ta-go ta được:

⇔ 100 = 9x2 + 162

⇔ x2 = 100 : 25

⇔ x = 2

Từ kia suy ra AB = 6cm

Câu 11: Kẻ BI ⊥ DC. Khi đó ABID là hình chữ nhật đề xuất AD = BI; AB = DI = 12cm.

Xét tam giác vuông BIC có: IC2=BC2-BI2

Suy ra IC = 16cm.

Xét tam giác vuông BDC .Theo hệ thức lượng ta có: BI2 = DI.IC

Thay số:162 = DI . 13.Tứ kia suy ra DI = 256/13 cm.

Vậy chọn đáp án A

Câu 12: chọn đáp án: A

Câu 13: Áp dụng hệ thức lượng: AB2 = BH.BC

Thay số ta được: 52=BH.13.Suy ra bảo hành = 25/13

Vậy chọn đáp án: A

Câu 14: lựa chọn đáp án: D

Tỉ con số giác của góc nhọn

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn:

1, sin α = AB/AC

2, cos α = BC/AC

3, rã α = AB/BC

4, cotgα = BC/AB

2. Một vài tính chất của những tỉ con số giác

+ mang đến hai góc α cùng β phụ nhau. Khi đó:

sin α = cos β

cos α = sin β

tan α = cotg β

cotg α = tung β

+ đến góc nhọn α. Ta có:

0 2B ; CH = a sin2 B

b, Suy ra AB2 = BC.BH ; AH2 = BH.HC

Hướng dẫn giải

a, bệnh minh:

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

AH = sinB.AB (1)

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

AB = BC.cos B = acos B (2)

Từ (1) với (2) ta có:

AH = a sin B cos B

Tương từ bỏ ta có:

+ Xét tam giác vuông ABH: bh = AB.cos B

Xét tam giác vuông ABC: AB = BC.cos B = acos B => bảo hành = a cos2B

+ Xét tam giác vuông ACH: CH = AC.cos C = AC.sin B

Tam giác vuông ABC: AC=BC.sin B=a.sin B => CH = a sin2 B

b, AB2 = a2 cos2B

BC.BH = a.a.cos2B = a2cos2B

=> AB2 = BC.BH

AH2 = a2sin2cos2B

=> AH2 = BH.HC

Bài 2: Giải tam giác trong những trường hòa hợp sau( làm cho tròn đến chữ số thập phân đồ vật nhất).(Tức là tìm tất cả các yếu hèn tố chưa biết của tam giác ABC)

a, Tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3,5; AC = 4,2.

b, Tam giác ABC vuông trên A, biết ∠B = 50o ; AB = 3,7.

Xem thêm: Fyi = For Your Reference Nghĩa Là Gì, Viết Tắt Của Từ Nào Trong Tiếng Anh

Hướng dẫn giải

*
*

Bài 3: Giải tam giác ABC, biết ∠B = 65o; ∠C = 40o với BC = 4,2 cm.

Hướng dẫn giải

*

Ta có: ∠A = 180o - (65o + 45o) = 75o

Vẽ bảo hành ⊥ AC

+ Xét tam giác vuông HBC vuông tại H, theo hệ thức về cạnh cùng góc trong tam giác vuông, ta có:

BH = BC.sin C = 2,7 (cm)

Và CH = BH.cotg C (1)

+ Xét tam giác vuông ABH tại H, theo hệ thức về cạnh với góc trong tam giác vuông ta có: