A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức toán 10

1. Định nghĩa :

Cho

*
là hai số thực. Các mệnh đề
*
là mệnh đề chứ đổi thay thì
*
B""" />là mệnh đề đựng biến. Minh chứng bất đẳng thức
*
B" />(với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng tỏ mệnh đề đựng biến
*
B""" />đúng với toàn bộ các quý giá của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta bao gồm bất đẳng thức
*
B" />mà không nêu điều kiện so với các biến đổi thì ta hiểu rằng bất đẳng thức kia xảy ra với tất cả giá trị của đổi thay là số thực.

2. đặc thù :

*

*
b" />và
*
cRightarrow a>c" />

*

*
bLeftrightarrow a+c>b+c" />

*

*
b" />và
*
dRightarrow a+c>b+d" />

* Nếu

*
0" />thì
*
bLeftrightarrow ac>bc" />

Nếu

*
bge 0Rightarrow sqrta>sqrtb" />

*

*

*

*
bge 0Rightarrow a^n>b^n" />

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.

*

*
với các số thực
*
.

*

*
0" />).

4. Bất đẳng thức thân trung bình cùng và vừa phải nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với nhị số ko âm

Cho

*
, ta có
*
. Vết ‘=’ xẩy ra khi và chỉ khi
*
.

Hệ quả:

* nhì số dương có tổng không thay đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

* hai số dương gồm tích không đổi thì tổng nhỏ tuổi nhất khi nhì số đó bằng nhau

b) Đối với cha số không âm

Cho

*
, ta có
*
abc" />. Lốt ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khi
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Phương pháp giải.

Để minh chứng bất đẳng thức(BĐT)

*
ta hoàn toàn có thể sử dụng những cách sau:

Ta đi chứng minh

*
. Để minh chứng nó ta hay sử dụng những hằng đẳng thức nhằm phân tích
*
thành tổng hoặc tích của các biểu thức ko âm.

Xuất vạc từ BĐT đúng, thay đổi tương đương về BĐT yêu cầu chứng minh.

2.Các ví dụ như minh họa.

Loại 1:Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1:Cho hai số thực

*
. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

Lời giải:

a) Ta có

*
. Đẳng thức
*
.

b) Bất đẳng thức tương tự với

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

c) BĐT tương đương

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

d) BĐT tương đương

*

*
*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

Nhận xét:Các BĐT trên được áp dụng nhiều, và được xem như thể “bổ đề” trong chứng minh các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:Cho năm số thực

*
. Minh chứng rằng
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*

*
đpcm.

Đẳng thức xảy ra

*
.

Loại 2:Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT yêu cầu chứng minh

Đối với các loại này hay cho lời giải không được tự nhiên và thoải mái và ta thường thực hiện khi các biến có những ràng buộc sệt biệt

* để ý hai mệnh đề sau thường xuyên dùng

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( a-eta ight)le 0" />
*

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( b-alpha ight)left( c-alpha ight)+left( eta -a ight)left( eta -b ight)left( eta -c ight)ge 0left( ** ight)" />

Ví dụ 7:Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng tỏ rằng:

*
cRightarrow ac+bc>c^2" />. Tương tự

*
b^2; ext ca+cb>c^2" />cộng tía BĐT đó lại với nhau ta gồm đpcm

Nhận xét:*Ở trong việc trên ta đã bắt nguồn từ BĐT đúng kia là tính chất về độ dài tía cạnh của tam giác. Kế tiếp vì cần xuất hiện thêm bình phương đề xuất ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu khởi nguồn từ BĐT

*
" />. Bệnh minh:
*

Lời giải:

Cách 1:Vì

*
Rightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)ge 0" />

*
(*)

Ta có:

*
nên từ bỏ (*) ta suy ra

*
đpcm.

Cách 2:BĐT cần chứng minh tương đương với

*

Mà

*
" />
*
do đó:

*

Ta chỉ việc chứng minh

*

Thật vậy: vì

*
" />nên theo nhấn xét
*
ta có

*
*
*

*
*

Vậy BĐT lúc đầu được bệnh minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

1.Phương pháp giải.

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:

* Khi vận dụng bđt côsi thì các số bắt buộc là hồ hết số ko âm

* BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần minh chứng có tổng cùng tích

* Điều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là những số bằng nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có bề ngoài khác thường tốt sử dụng

Đối với nhị số:

*
.

Đối với bố số:

*

2.Các lấy ví dụ minh họa.

Loại 1:Vận dụng thẳng bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:Cho

*
là số dương thỏa mãn
*
. Minh chứng rằng

a)

*
b)
*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

*

Suy ra

*
(1)

Mặt khác ta có

*
(1)

Từ (1) cùng (2) suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

*
.

b) Ta có

*

Áp dụng BĐT côsi ta có

*

và

*
*

Suy ra

*
*

Do đó

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

*
.

Ví dụ 2:Cho

*
là số dương. Minh chứng rằng

a)

*

b)

*

c)

*
abc ight)}^3}" />

d)

*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

*

Suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

b) Áp dụng BĐT côsi mang đến hai số dương ta có

*
, tựa như ta có
*

Suy ra

*

Mặt khác, vận dụng BĐT côsi cho tía số dương ta có

*

Suy ra

*
. ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

c) Ta có

*
*

Áp dụng BĐT côsi cho bố số dương ta có

*
ab.bc.ca=3left( sqrt<3>abc ight)^2" />và
*
abc" />

Suy ra

*
*
abc ight)}^2}+3sqrt<3>abc+abc=left( 1+sqrt<3>abc ight)^3" />ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

d) Áp dụng BĐT côsi đến hai số dương ta có

*
*

Suy ra

*
*
(1)

Mặt khác theo BĐT côsi cho cha số dương ta có

*
*

*
*

Suy ra

*
(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra

*

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

Loại 2:Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

Xem thêm: Giải Bài Tập Địa Lý Lớp 6 Bài 2 Bản Đồ Cách Vẽ Bản Đồ Cách Vẽ Bản Đồ

Để minh chứng BĐT ta thường xuyên phải thay đổi (nhân chia, thêm, giảm một biểu thức) để chế tạo biểu thức có thể giản ước được sau thời điểm áp dụng BĐT côsi.Khi gặp BĐT bao gồm dạng
*
(hoặc
*
), ta thường đi chứng minh
*
(hoặc
*
), xây dựng những BĐT tương tự như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều phải chứng minh.Khi tách và vận dụng BĐT côsi ta phụ thuộc vào việc đảm bảo an toàn dấu bằng xảy ra(thường lốt bằng xẩy ra khi các biến đều nhau hoặc tại biên).

Ví dụ 5:Cho

*
là số dương. Chứng tỏ rằng: