Nội dung bài học reviews đến các em những phương thức giải bấtphương trình mũ với bất phương trình lôgaritnhư chuyển vềcùng cơ số, nón hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng đặc thù hàm số. Thông gần như ví dụ minh họa để giúp các em bước đầu tiên biết giải pháp giải bất phương trình mũ với lôgarit.

Bạn đang xem: Bất phương trình mũ và logarit


1. Video clip bài giảng

2. Nắm tắt lý thuyết

2.1. Bất phương trình mũ

2.2. Bất phương trình lôgarit

3. Bài xích tập minh hoạ

4. Rèn luyện Bài 6 Chương 2 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm vềBất phương trình mũ cùng bất phương trình lôgarit

4.2 bài bác tập SGK và nâng cấp vềBất phương trình mũ với bất phương trình lôgarit

5. Hỏi đáp về bài xích 6 Chương 1 Toán 12


a) cách thức đưa về thuộc cơ sốNếu(a>1):(a^x>a^yLeftrightarrow x>y)​(a^f(x)>a^g(x)Leftrightarrow f(x)>g(x))Nếu(0

(a^f(x) > a^g(x) Leftrightarrow f(x) > g(x))

b) cách thức lôgarit hóaNếu(a^f(x) > b m (1))

((1) Leftrightarrow left< eginarraylleft{ eginarrayla > 1\f(x) > log _abendarray ight.\left{ eginarrayl0 f(x) endarray ight.endarray ight.)

Nếu(a^f(x) > b^g(x) m (2))

((2) Leftrightarrow left< eginarraylleft{ eginarrayla > 1\f(x) > g(x).log _abendarray ight.\left{ eginarrayl0 f(x) endarray ight.endarray ight.)

c) cách thức đặt ẩn phụKiểu 1:Đặt 1 ẩn mang về phương trình theo 1 ẩn mới(a.m^2f(x)+b.m^f(x)+c>0)​: Đặt(t=m^f(x)), ta có(at^2+bt+c>0)(a.m^f(x)+b.n^f(x)+c>0)trong đó (m.n=1): Đặt(t=m^f(x)), ta có(a.t+b.frac1t+c>0)(Leftrightarrow at^2+ct+b>0)(a.m^2f(x)+b.m^f(x).n^g(x)+c.n^g(x)>0)

Chia cả hai vế cho(n^2g(x)), ta có:

​(a.left < fracm^f(x)n^g(x) ight >^2+b.fracm^f(x)n^g(x) +c>0)

Đặt(t=fracm^f(x)n^g(x)), ta có(at^2+bt+c>0)

Kiểu 2:Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất đi ẩn ban đầu. Lúc đó, xử lý phương trình theo những cách sau:Đưa về bất phương trình tích.Xem ẩn ban đầu như là tham số.Kiểu 3:Đặt các ẩn. Khi ấy xử lý phương trình theo các cách sau:Đưa về bất phương trình tích.Xem 1 ẩn là tham số.d) cách thức hàm sốXét hàm số(y=a^x):Nếu(a>1):(y=a^x)đồng biến trên(mathbbR.)Nếu(0 Tổng của hai hàm số đồng thay đổi (NB) bên trên D là hàm số đồng trở thành (NB) trên D.Tích của nhị hàm số đồng phát triển thành và nhận cực hiếm dương bên trên D là hàm số đồng đổi mới trên D.Cho hàm số(f(x))và(g(x)), nếu:(f(x))đồng phát triển thành trên D.(g(x))​nghịch trở nên trên D.

⇒(f(x)-g(x))đồng thay đổi trên D.


2.2. Bất phương trình lôgarit


a) phương thức đưa về thuộc cơ số

Với(a>1:)(log_a f(x) >log_a g(x))(Leftrightarrow left{eginmatrix f(x)>g(x)\ g(x)>0 endmatrix ight.)Với(0 log _ag(x) Leftrightarrow left{ eginarraylf(x) f(x) > 0endarray ight.)

b) phương thức mũ hóa

Xét bất phương trình:(log_a f(x)> b (1))với(0 ​(a>1, (1)Leftrightarrow f(x)>a^b)​(0 c) cách thức đặt ẩn phụ

Các mẫu mã đặt ẩn phụ:

Kiểu 1:Đặt 1 ẩn và đem đến phương trình theo một ẩn mới.Kiểu 2:Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.Xem ẩn ban sơ là tham sốBất phương trình tíchKiểu 3:Đặt những ẩnd) phương pháp hàm số

Các nội dung phải nhớ:

Xét hàm số(y = log _ax,(0 (a>1, y =log_a x)đồng đổi thay trên((0;+infty )).​(0 Xét nhị hàm số(f(x))và(g(x):)Nếu(f(x))và(g(x))là nhì hàm số đồng thay đổi (nghịch biến) trên tập D thì(f(x)+g(x))là hàm số đồng phát triển thành (nghịch biến) trên tập D.Nếu(f(x))và(g(x))là nhị hàm số đồng biếntrên tập D và(f(x).g(x)>0)thì(f(x).g(x))là hàm số đồng đổi mới trên tập D.Nếu(f(x))đồng đổi mới trên D,(g(x))nghịch đổi mới trên D:(f(x)-g(x))đồng phát triển thành trên D.(f(x)-g(x))nghịch vươn lên là trên D.

1. Bất phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình(left( sqrt 5 + 2 ight)^x - 1 ge left( sqrt 5 - 2 ight)^ - x^2 + 3.)

Lời giải:

Ta có:(left( sqrt 5 + 2 ight)left( sqrt 5 - 2 ight) = 1 Leftrightarrow sqrt 5 - 2 = frac1sqrt 5 + 2 = left( sqrt 5 + 2 ight)^ - 1)

Vậy: (left( sqrt 5 + 2 ight)^x - 1 ge left( sqrt 5 - 2 ight)^ - x^2 + 3)(Leftrightarrow left( sqrt 5 + 2 ight)^x - 1 ge left( sqrt 5 + 2 ight)^x^2 - 3 Leftrightarrow x - 1 ge x^2 - 3)

(Leftrightarrow x^2 - x - 2 le 0 Leftrightarrow - 1 le x le 2)

Vậy BPT gồm tập nghiệm(S = left< - 1;2 ight>)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình(2^x^2 - 4 ge 5^x - 2.)

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 2 nhì vế của bất phương trình đã mang đến ta có:

(log _2left( 2^x^2 - 4 ight) ge log _2left( 5^x - 2 ight) Leftrightarrow x^2 - 4 ge left( x - 2 ight)log _25)

(Leftrightarrow left( x - 2 ight)left( x + 2 - log _25 ight) ge 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x ge 2\ x le log _25 - 2 endarray ight.)

Vậy BPT bao gồm tập nghiệm(S = left( - infty ;log _25 - 2 ight> cup left< 2; + infty ight).)

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình( m3^ m2x + 1 - 10.3^x + 3 le 0).

Lời giải:

( m3^ m2x + 1 - 10.3^x + 3 le 0 m )(Leftrightarrow 3.left( 3^x ight)^2 - 10.3^x + 3 le 0)(1)

Đặt(t = 3^x > 0).

Ta có: (1)(Leftrightarrow 3t^2 - 10t + 3 le 0 Leftrightarrow frac13 le t le 3)(Leftrightarrow frac13 le 3^x le 3 Leftrightarrow 3^ - 1 le 3^x le 3^1 Leftrightarrow - 1 le x le 1)

Vậy bất phương trình bao gồm nghiệm:(S = left< - 1;1 ight>.)

Ví dụ 4:

Giải bất phương trình(3^x + 4^x > 5^x.)

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình mang lại ta được:

(3^x + 4^x > 5^x Leftrightarrow left( frac35 ight)^x + left( frac45 ight)^x > 1.)

Xét hàm số:(f(x) = left( frac35 ight)^x + left( frac45 ight)^x,)TXĐ:(D=mathbbR)

(f"(x) = left( frac35 ight)^x.ln left( frac35 ight) + left( frac45 ight)^x.ln left( frac45 ight) 1 Leftrightarrow x Ví dụ 5:

Giải bất phương trình(log _frac12left( x^2 - x - frac34 ight) le 2 - log _25.)

Lời giải:

(log _frac12left( x^2 - x - frac34 ight) le 2 - log _25 Leftrightarrow log _frac12left( x^2 - x - frac34 ight) le log _frac12frac14 + log _frac125)

(Leftrightarrow log _frac12left( x^2 - x - frac34 ight) le log _frac12frac54)

(eginarrayl Leftrightarrow x^2 - x - frac34 ge frac54 Leftrightarrow x^2 - x - 2 ge 0\ Leftrightarrow left< eginarrayl x le - 1\ x ge 2 endarray ight. endarray)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là(S = left( - infty ; - 1 ight> cup left< 2; + infty ight)).

Xem thêm: What Is E Ultimate Guide To Ecommerce, Ecommerce Definition

Ví dụ 6:

Giải bất phương trình(log _2left( 1 - log _9x ight) Lời giải:

Điều kiện:(left{ eginarrayl x > 0\ 1 - 2log _9x > 0 endarray ight. Leftrightarrow 3 > x > 0)

Khi đó:(log _2(1 - 2log _9x) - frac12 Leftrightarrow x > frac13)

Kết phù hợp với điều kiện ta được(S = left( frac13;3 ight))là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 7:

Giải bất phương trình(log _2^2x - 5log _2x - 6 le 0.)

Lời giải:

Đặt(t = log _2x,)khi đó phương trình trở thành:

(eginarrayl t^2 - 5t - 6 le 0\ Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) le 0\ Leftrightarrow - 1 le t le 6 endarray)

Do đó ta có:

(eginarrayl - 1 le log _2x le 6\ Rightarrow log _2frac12 le log _2x le log _264\ Rightarrow frac12 le x le 64 endarray)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là(S = left< frac12;64 ight>.)

Ví dụ 8:

Giải bất phương trình(x + log _3left( x + 1 ight) > 3.)

Lời giải:

ĐK:(x>1)

Xét hàm số(f(x) = x + log _3(x + 1))trên(left( - 1; + infty ight).)