Ôn tập lại định hướng và phía dẫn bí quyết giải những dạng toán về hệ thức lượng vào tam giác sinh hoạt lớp 10 qua các ví dụ có giải mã chi tiết.
Bạn đang xem: Các hệ thức trong tam giác
Chúng ta yêu cầu nhớ các công thức và định lý trước lúc áp dụng vào giải bài tập.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí côsinTrong tam giác $ABC$ với $BC = a$, $AC = b$ và $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$
Áp dụng bí quyết đường trung đường với tam giác $ABC$ cùng $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ từ $(1)$ với $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ còn mặt khác $EF$ là con đường trung tuyến đường tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài xích 1: chứng minh rằng trong số đông tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$
a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). C) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). D) Áp dụng phương pháp đường trung tuyến. E) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ kia suy ra điều buộc phải chứng minh.
Bài 2: đến tam giác $ABC.$ minh chứng rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$
a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.
Bài 3: mang đến tam giác $ABC$ thỏa mãn nhu cầu $a^4 = b^4 + c^4.$ minh chứng rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. B) $2sin ^2A = an B an C.$
a) thường thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là to nhất. Và $a^4 = b^4 + c^4 còn mặt khác theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ vì vậy $widehat A b) $2sin ^2A = an B an C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$
Bài 4: call $S$ là diện tích s tam giác $ABC.$ chứng minh rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$
a) Ta gồm $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$
Bài 5: mang đến tứ giác lồi $ABCD$, call $alpha $ là góc hợp bởi hai đường chéo cánh $AC$ cùng $BD.$ chứng minh diện tích $S$ của tứ giác cho bởi công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$
Gọi $I$ là giao điểm hai đường chéo. Lúc đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta có các góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ với $widehat DIA$ song một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin alpha .$ cho nên vì vậy $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin alpha .$
DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định lí côsin, định lí sin, công thức đường trung tuyến, bí quyết tính diện tích tam giác để đổi khác giả thiết về hệ thức tương tác cạnh (hoặc góc) từ kia suy ra dạng của tam giác.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: đến tam giác $ABC$ tán đồng $sin C = 2sin Bcos A.$ chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân.
Áp dụng định lí côsin và sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại đỉnh $C.$
Ví dụ 2: cho tam giác $ABC$ hài lòng $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.
Xem thêm: Tóm Tắt Lý Thuyết Vật Lý 12 Chương 4 Dao Động Và Sóng Điện Từ
Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông tại $A.$
Ví dụ 3: thừa nhận dạng tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$
a) Áp dụng công thức diện tích ta tất cả $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. B) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân trên $C.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài xích 1: cho tam giác $ABC.$ chứng tỏ tam giác $ABC$ cân nếu $h_a = csin A.$
Sử dụng công thức $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại $C.$
Bài 2: mang đến tam giác $ABC.$ chứng minh tam giác $ABC$ cân nặng nếu $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$
Sử dụng công thức đường trung tuyến đường và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$
Bài 3: minh chứng rằng tam giác $ABC$ các khi còn chỉ khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$
Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ lốt bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ xuất xắc tam giác $ABC$ đều.
Bài 4: mang đến tam giác $ABC.$ search góc $A$ trong tam giác biết các cạnh $a$, $b$, $c$ thoả mãn hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$
$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$