A. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT1. Phương pháp phân tích nhân tửNếu phương trình bậc cha $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ tất cả nghiệm $x = r$ thì bác ái tử $(x – r)$, vì đó hoàn toàn có thể phân tích: $ax^3 + bx^2 + cx + d$ $ = left( x – r ight)left< ax^2 + left( b + ar ight)x + c + br + ar^2 ight>.$Từ kia ta mang đến giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là: $frac – b – ra pm sqrt b^2 – 4ac – 2abr – 3a^2r^2 2a.$2. Cách thức CardanoXét phương trình bậc tía $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ $(1).$Đặt $x = y – fraca3$, phương trình $(1)$ luôn chuyển đổi được về dạng thiết yếu tắc: $y^3 + py + q = 0$ $(2)$, trong đó: $p = b – fraca^23$, $q = c + frac2a^3 – 9ab27.$Ta chỉ xét $p,q e 0$ vày nếu $p=0$ hoặc $q=0$ thì mang lại trường hợp solo giản.Đặt $y=u+v$ nạm vào phương trình $(2)$, ta được: $left( u + v ight)^3 + pleft( u + v ight) + q = 0$ $ Leftrightarrow u^3 + v^3 + left( 3uv + p ight)left( u + v ight) + q = 0$ $(3).$Chọn $u$, $v$ làm sao cho $3uv+p=0$ $(4).$Như vậy, để tìm $u$ cùng $v$, tự $(3)$ cùng $(4)$ ta tất cả hệ phương trình: $left{ eginarraylu^3 + v^3 = – q\u^3v^3 = – fracp^327endarray ight.$Theo định lí Vi-ét, $u^3$ và $v^3$ là hai nghiệm của phương trình: $X^2 + qX – fracp^327 = 0$ $(5).$Đặt $Delta = fracq^24 + fracp^327.$• khi $Δ > 0$, phương trình $(5)$ bao gồm nghiệm: $u^3 = – fracq2 + sqrt Delta $, $v^3 = – fracq2 – sqrt Delta .$Như vậy phương trình $(2)$ sẽ sở hữu được nghiệm thực tuyệt nhất là: $y = sqrt<3> – fracq2 + sqrt Delta + sqrt<3> – fracq2 – sqrt Delta .$• lúc $Δ=0$, phương trình $(5)$ bao gồm nghiệm kép: $u = v = – sqrt<3>fracq2.$Khi đó, phương trình $(2)$ có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép: $y_1 = 2sqrt<3> – fracq2$, $y_2 = y_3 = sqrt<3>fracq2.$• lúc $Δ gọi $u_0^3$ là 1 trong nghiệm phức của $(5)$, $v_0^3$ là giá trị tương ứng sao cho $u_0v_0 = – fracp3.$Khi đó, phương trình $(2)$ có cha nghiệm phân biệt: $y_1 = u_0 + v_0$, $y_2 = – frac12left( u_0 + v_0 ight) + ifracsqrt 3 2left( u_0 – v_0 ight)$, $y_3 = – frac12left( u_0 + v_0 ight) – ifracsqrt 3 2left( u_0 – v_0 ight).$3. Phương thức lượng giác hoáMột phương trình bậc ba, nếu có $3$ nghiệm thực, khi màn trình diễn dưới dạng căn thức sẽ tương quan đến số phức. Bởi vì vậy ta hay dùng cách thức lượng giác hoá để tìm một cách màn trình diễn khác dễ dàng và đơn giản hơn, dựa vào hai hàm số $cos$ với $arccos.$Cụ thể, tự phương trình $t^3 + pt + q = 0$ $(*)$, ta đặt $t = ucos alpha $ với tìm $u$ để hoàn toàn có thể đưa $(*)$ về dạng: $4cos ^3alpha – 3cos alpha – cos3alpha = 0.$Muốn vậy, ta chọn $u = 2sqrt frac – p3 $ và phân tách $2$ vế của $(*)$ đến $fracu^34$ để được: $4cos ^3alpha – 3cos alpha – frac3q2psqrt frac – 3p = 0$ $ Leftrightarrow cos 3alpha = frac3q2psqrt frac – 3p .$Vậy $3$ nghiệm thực là: $t_i = 2sqrt frac – p3 cos left< frac13arccos left( frac3q2psqrt frac – 3p ight) – frac2ipi 3 ight>$ cùng với $i = 0, 1, 2.$Lưu ý rằng ví như phương trình có $3$ nghiệm thực thì $p B. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Giải phương trình: $x^3 + x^2 + x = – frac13.$Phương trình không tồn tại nghiệm hữu tỉ nên không thể so sánh nhân tử. Trước khi nghĩ tới cách làm Cardano, ta demo quy đồng phương trình: $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0.$Đại lượng $3x^2 + 3x + 1$ gợi ta mang đến hằng đẳng thức thân thuộc sau: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = left( x + 1 ight)^3.$Do đó phương trình tương đương: $left( x + 1 ight)^3 = – 2x^3$ $ Leftrightarrow x + 1 = – sqrt<3>2x.$Từ đó suy ra phương trình bao gồm nghiệm duy nhất: $x = frac – 11 + sqrt<3>2.$Nhận xét: ví dụ như trên là một trong những phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ cùng được giải nhờ vào khéo léo chuyển đổi đẳng thức. Tuy nhiên, đông đảo bài đơn giản như gắng này không tồn tại nhiều. Sau đây ta vẫn đi sâu vào công thức Cardano:Ví dụ 2. Giải phương trình: $x^3 – 3x^2 + 4x + 11 = 0.$Đặt $x = y + 1$, cụ vào phương trình đầu bài, ta được: $y^3 + 1.y + 13 = 0.$Tính $Delta = 13^2 + frac427.1^3$ $ = frac456727 ge 0.$Áp dụng bí quyết Cardano suy ra: $y = sqrt<3>frac – 13 + sqrt frac456727 2$ $ + sqrt<3>frac – 13 – sqrt frac456727 2.$Suy ra: $x = sqrt<3>frac – 13 + sqrt frac456727 2$ $ + sqrt<3>frac – 13 – sqrt frac456727 2 + 1.$Nhận xét: lấy ví dụ trên là một trong những ứng dụng cơ phiên bản của cách làm Cardano. Tuy nhiên, phương pháp này không thể dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi học viên giỏi. Vị thế, tất cả lẽ bọn họ sẽ cố gắng tìm một tuyến đường “hợp thức hóa” các giải mã trên, đó là phương thức lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng $x^3 + px + q = 0$ cùng với $p lấy ví dụ như 3. Giải phương trình: $x^3 + 3x^2 + 2x – 1 = 0.$Đầu tiên đặt $x=y-1$ ta mang đến phương trình $y^3 – y – 1 = 0$ $(1)$, mang lại đây ta sử dụng lượng giác như sau:Nếu $left| y ight| Phương trình tương đương $frac83sqrt 3 cos ^3alpha – frac2sqrt 3 cos alpha – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 3alpha = frac3sqrt 3 2$ (vô nghiệm).Do đó $left| y ight| ge frac2sqrt 3 $. Như vậy luôn tồn trên $t$ thỏa $y = frac1sqrt 3 left( t + frac1t ight)$ $(*).$ nuốm vào $(1)$ ta được phương trình $fract^33sqrt 3 + frac13sqrt 3 t^3 – 1 = 0$, bài toán giải phương trình này sẽ không khó, xin dành cho mình đọc.Ta tìm kiếm được nghiệm: $x = frac1sqrt 3 left< sqrt<3>frac12left( 3sqrt 3 – sqrt 23 ight) + frac1sqrt<3>frac12left( 3sqrt 3 – sqrt 23 ight) ight> – 1.$Nhận xét: câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương thức trên như thế nào?”. Hy vọng trả lời, ta yêu cầu làm sáng tỏ hai vấn đề:+ sự việc 1. Có luôn luôn tồn tại $t$ thoả mãn phương pháp đặt trên?Đáp án là không. Coi $(*)$ là phương trình bậc nhì theo $t$ ta sẽ tìm được điều kiện $left| y ight| ge frac2sqrt 3 .$ thật ra rất có thể tìm nhanh bằng phương pháp dùng bất đẳng thức AM – GM: $left| y ight| = left| frac1sqrt 3 left( t + frac1t ight) ight|$ $ = frac1sqrt 3 left( + frac1left ight) ge frac2sqrt 3 .$Vậy thứ nhất ta phải chứng tỏ $(1)$ không tồn tại nghiệm $left| y ight| + vấn đề 2. Bởi vì sao gồm số $frac2sqrt 3 $?Ý tưởng của ta là từ phương trình $x^3+px+q=0$ mang lại một phương trình trùng phương theo $t^3$ qua giải pháp đặt $x = kleft( t + frac1t ight).$ triển khai và đồng bộ hệ số ta được $k = sqrt frac – p3 .$Sau đó là phương trình dạng $x^3+px+q=0$ cùng với $p ví dụ như 4. Giải phương trình: $x^3 – x^2 – 2x + 1 = 0.$Đặt $y = x – frac13$, ta được phương trình: $y^3 – frac73y + frac727 = 0$ $(*).$Với $left| y ight| nắm vào $(*)$, ta được: $cos 3alpha = – fracsqrt 7 14$, đây là phương trình lượng giác cơ bản.Dễ dàng kiếm được ba nghiệm của phương trình ban đầu: $x_1 = frac2sqrt 7 3cos left< fracarccos left( – fracsqrt 7 14 ight)3 ight> + frac13$, $x_2,3 = frac2sqrt 7 3cos left< frac pm arccos left( – fracsqrt 7 14 ight)3 + frac2pi 3 ight> + frac13.$Do phương trình bậc cha có tối đa $3$ nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp $left| y ight| ge frac2sqrt 7 3.$Nhận xét: Ta cũng đều có thể minh chứng phương trình vô nghiệm lúc $left| y ight| ge frac2sqrt 7 3$ bằng phương pháp đặt $y = fracsqrt 7 3left( t + frac1t ight)$ y hệt như ví dụ 3, từ bỏ đó dẫn đến một phương trình trùng phương vô nghiệm.Tổng kết lại, ta cần sử dụng phép để ẩn phụ $y = sqrt frac – p3 left( t + frac1t ight)$ $(*)$ như sau:+ ví như phương trình gồm $1$ nghiệm thực, chứng tỏ phương trình vô nghiệm khi $left| y ight| + nếu như phương trình bao gồm $3$ nghiệm thực, chứng tỏ phương trình vô nghiệm lúc $left| y ight| ge 2sqrt frac – p3 $ bởi phép để $(*)$ (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo $t$). Lúc $left| y ight| le 2sqrt frac – p3 $ thì để $frac y ight2sqrt frac – p3 = cos alpha $, từ đó tìm $α$, suy ra $3$ nghiệm $y.$Còn khi $p>0$ không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất:Ví dụ 5. Giải phương trình: $x^3 + 6x + 4 = 0.$Ý tưởng: Ta sẽ cần sử dụng phép để $x = kleft( t – frac1t ight)$ để đưa về phương trình trùng phương.


Bạn đang xem: Phương trình bậc ba


Xem thêm: Lắng Đọng Cảm Xúc Ngày Ra Trường Của Học Sinh Lớp 9 Trong Lễ Ra Trường

Để ý phép đặt này sẽ không cần điều kiện của $x$, vì chưng nó tương đương $kleft( t^2 – 1 ight) – xt = 0.$ Phương trình trên luôn luôn có nghiệm theo $t$.Như vậy từ bỏ phương trình đầu ta được: $k^3left( t^3 – frac1t^3 ight) – 3k^3left( t – frac1t ight)$ $ + 6kleft( t – frac1t ight) + 4 = 0.$Cần lựa chọn $k$ thỏa $3k^3 = 6k$ $ Rightarrow k = sqrt 2 .$Vậy ta có giải thuật bài toán như sau:Đặt $x = sqrt 2 left( t – frac1t ight)$, ta có phương trình: $2sqrt 2 left( t^3 – frac1t^3 ight) + 4 = 0$ $ Leftrightarrow t^6 – 1 + sqrt 2 t^3 = 0$ $ Leftrightarrow t_1,2 = sqrt<3>frac – 1 pm sqrt 3 sqrt 2 .$Lưu ý rằng $t_1t_2 = – 1$ theo định lí Vi-ét phải ta chỉ cảm nhận một quý hiếm của $x$ là: $x = t_1 + t_2$ $ = sqrt 2 left( sqrt<3>frac – 1 + sqrt 3 sqrt 2 + sqrt<3>frac – 1 – sqrt 3 sqrt 2 ight).$Ví dụ 6
. Giải phương trình $4x^3 – 3x = m$ với $left| m ight| > 1.$Nhận xét rằng lúc $left| x ight| le 1$ thì $left| VT ight| le 1 tự đó: $t = sqrt<3>m pm sqrt m^2 – 1 $ $ Rightarrow x = frac12left( sqrt<3>m + sqrt m^2 – 1 + sqrt<3>m – sqrt m^2 – 1 ight).$Ta minh chứng đây là nghiệm duy nhất của phương trình.Giả sử phương trình tất cả nghiệm $x_0$ thì $x_0 otin left< – 1;1 ight>$ vì $left| x_0 ight| > 1.$ khi đó: $4x^3 – 3x = 4x_0^3 – 3x_0$ $ Leftrightarrow left( x – x_0 ight)left( 4x^2 + 4xx_0 + 4x_0^2 – 3 ight) = 0.$Xét phương trình: $4x^2 + 4xx_0 + 4x_0^2 – 3 = 0.$Ta có: $Delta ‘ = 12 – 12x_0^2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nhất là: $x = frac12left( sqrt<3>m + sqrt m^2 – 1 + sqrt<3>m – sqrt m^2 – 1 ight).$