1. Góc giữa hai tuyến phố thẳng trong không gian là gì?
Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 con đường thẳng a’, b’ lần lượt tuy nhiên song cùng với a cùng b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O chuyển đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a với b không cụ đổi.
Bạn đang xem: Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không gian là góc thân 2 con đường thẳng cùng đi sang 1 điểm với lần lượt song song với hai tuyến phố thẳng vẫn cho.
2. Cách xác minh góc giữa hai tuyến phố thẳng
Ngoài câu hỏi làm như vào định nghĩa, để xác minh góc thân 2 đường thẳng a cùng b ta có thể lấy điểm O thuộc 1 trong các hai đường thẳng đó rồi vẽ một con đường thẳng qua O và song song với mặt đường thẳng còn lại.
Hoặc ta rất có thể sử dụng tích vô hướng:
Nếu (overrightarrowu) là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng a cùng (overrightarrowv) là vecto chỉ phương của con đường thẳng b và (left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)=alpha ) thì góc giữa 2 mặt đường thẳng a và b bởi (alpha ) nếu như (0le alpha le 90^circ ) và bởi (180^circ -alpha ) nếu như (90^circ nếu như 2 con đường thẳng a và b tuy nhiên song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng (0^circ ). Góc thân 2 mặt đường thẳng là góc bao gồm số đo (0le alpha le 90^circ ).3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng
Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong ko gian, nếu khẳng định (dựng) được góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không gian và gắn nó vào một tam giác cụ thể thì hoàn toàn có thể sử dụng những hệ thức lượng vào tam giác để tìm số đo của góc đó:
Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: (cos widehatBAC=fracAB^2+AC^2-BC^22.AB.AC)Tương tự ta có: (cos widehatABC=fracBA^2+BC^2-AC^22.BA.BC) và (cos widehatACB=fracCA^2+CB^2-AB^22.CA.CB)Chú ý: (overrightarrowAB.overrightarrowAC=AB.ACcos widehatBAC=frac12left( AB^2+AC^2-BC^2 ight))Ngoài ra, để tính góc giữa hai véc-tơ $vecu, vecv $ bọn họ sử dụng tư tưởng tích vô hướng: $$vecu . vecv = |vecu|.|vecv|.cos(left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)$.
Tính góc giữa hai tuyến phố thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ (overrightarrowAB) và (overrightarrowCD) nhờ vào công thức (cos left( overrightarrowAB;overrightarrowCD ight)=fracoverrightarrowAB.overrightarrowCD overrightarrowCD ightRightarrow cos left( AB;CD ight)=fracleft) từ kia suy ra góc giữa hai tuyến đường thẳng AB với CD.
4. Bài bác tập góc giữa hai đường thẳng trong ko gian
Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D cdot A^prime B^prime C^prime D^prime$ có cạnh là $a$. Tính góc giữa các cặp con đường thẳng sau đây:
$A B$ với $A^prime D^prime$.$A D$ và $A^prime C^prime$.$B C^prime$ cùng $B^prime D^prime$.Lời giải.
Ví dụ 2. mang lại hình chóp $S . A B C$ tất cả $S A=S B=S C=A B=A C=a sqrt2$ và $B C=2 a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $S B$.
Lời giải.
Ta bao gồm $S A B$ và $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ cùng $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C$.Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta bao gồm $M N / / S B, N phường / / A C$ buộc phải $(A C, S B)=(N P, M N)$.
eginaligned&M N=fracS B2=fraca sqrt22, N P=fracA C2=fraca sqrt22 . \&A P=S P=fracB C2=a, S A=a sqrt2endaligned
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC gồm đáy là tam giác các cạnh a, (SAot left( ABC ight)) với (SA=asqrt3). Hotline M, N theo thứ tự là trung điểm của AB cùng SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN cùng CM.
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra (AM=CE=fraca2).
Khi đó (AE//CMRightarrow left( widehatAE;CM ight)=left( widehatAN;AE ight)=varphi .)
Mặt không giống (SC=sqrtSA^2+AC^2=2aRightarrow ) độ dài con đường trung tuyến AN là (AN=fracSC2=a.AE=CM=fracasqrt32.)
Do (Delta ABC) đều đề nghị (CMot AMRightarrow ) AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó (CEot AE) nhưng mà (CEot SARightarrow CEot left( SAE ight)Rightarrow CEot SE.)
(Delta SEC) vuông tại E có đường trung tuyến đường (EN=frac12SC=a.)
Ta có: (cos widehatNAE=fracAN^2+AE^2-NE^22.AN.AE=fracsqrt34>0Rightarrow cos varphi =fracsqrt34.)
Cách 2: Ta có: (overrightarrowAN=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight);overrightarrowCM=overrightarrowAM-overrightarrowAC=frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC.)
Khi kia (overrightarrowAN.overrightarrowCM=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight)left( frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC ight)=frac14overrightarrowAB.overrightarrowAC-frac12AC^2=frac14a^2cos 60^circ -fraca^22=frac-3a^28.)
Lại có: (AN=fracSC2=a;CM=fracasqrt32Rightarrow cos varphi =frac frac-3a^28 ighta.fracasqrt32=fracsqrt34.)
Bình luận: phụ thuộc vào hai cách làm bên trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công rứa vectơ nhằm tính góc giữa hai tuyến đường thẳng giúp bài toán trở cần dễ ràng hơn cực kỳ nhiều!.
Ví dụ 4.
Xem thêm: Bài Tập Trắc Nghiệm Cấp Số Nhân Và Các Yếu Tố Của Cấp Số Nhân Có Lời Giải
Cho hình chóp S.ABC có (SA=SB=SC=AB=a;AC=asqrt2) với (BC=asqrt3). Tính cosin góc giữa hai tuyến đường thẳng SC với AB.
Cách 1: điện thoại tư vấn M, N, p. Lần lượt là trung điểm của SA, SB với AC. Khi đó (left{ eginalign
& MP//SC \
& N//AB \
endalign ight.Rightarrow left( widehatSC;AB ight)=left( widehatMP;MN ight).)
Ta có: (MN=fracAB2=fraca2;MP=fracSC2=fraca2.)
Mặt khác (Delta SAC) vuông tại S (Rightarrow SP=fracAC2=fracasqrt22.)
(BP^2=fracBA^2+BC^22-fracAC^24=frac32a^2Rightarrow BP=fracasqrt62.)
Suy ra (PN^2=fracPS^2+PB^22-fracSB^24=frac3a^24Rightarrow NP=fracasqrt32.)
Khi đó (cos widehatNMP=fracMN^2+MP^2-NP^22.MN.MP=-frac12Rightarrow widehatNMP=120^circ Rightarrow varphi =left( widehatSC;AB ight)=60^circ .)
Cách 2: Ta có: (overrightarrowAB=overrightarrowSB-overrightarrowSARightarrow overrightarrowAB.overrightarrowSC=left( overrightarrowSB-overrightarrowSA ight).overrightarrowSC=overrightarrowSB.overrightarrowSC-overrightarrowSA.overrightarrowSC)
(=frac12left( SB^2+SC^2-AC^2 ight)-frac12left( SA^2+SC^2-AB^2 ight)=-fraca^22.)
Suy ra (cos left( SC;AB ight)=fraca.a=frac12Rightarrow left( SC;AB ight)=60^circ .)