Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Để chứng minh tía điểm (hay nhiều điểm) thẳng sản phẩm ta chứng minh bọn chúng là điểm tầm thường của nhị mặt phẳng phân biệt, lúc đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của nhị mặt phẳng đề nghị thẳng hàng.
Bạn đang xem: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 11
Bài tập minh họa
Bài 1:Cho hình bình hành ABCD . S là điểm ko thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB với SC .
1. Xác định giao điểm I = AN ∩(SBD)
2. Xác định giao điểm J = MN ∩(SBD)
3. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Bài giải
1. Xác định giao điểm I = AN ∩(SBD)
Chọn mp phụ (SAC)⊃ANTìm giao tuyến của (SAC ) cùng (SBD)( SAC) ∩(SBD) = SO
Trong (SAC), gọi I = AN ∩SO, I∈ANI∈ SO cơ mà SO∈( SBD)→I∈ ( SBD)
Vậy: I = AN∩ ( SBD)
2. Xác định giao điểm J = MN ∩(SBD)
Chọn mp phụ (SMC) ∩MNTìm giao tuyến của (SMC ) với (SBD)S là điểm chung của (SMC ) với (SBD)
Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD
→ ( SAC) ∩(SBD) = SE
Trong (SMC), gọi J = MN ∩SE , J∈ MNJ∈ SE nhưng mà SE∈ ( SBD)→ J∈ ( SBD)
Vậy J = MN ∩( SBD)
3. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Ta bao gồm : B là điểm phổ biến của (ANB) với ( SBD)
I∈ SO nhưng SO∈ ( SBD)→ I∈ ( SBD)I∈ AN mà lại AN∈ (ANB)→ I∈ (ANB)→ I là điểm bình thường của (ANB) cùng ( SBD)
J∈ SE mà SE∈ ( SBD)→J∈ ( SBD)J∈ MN nhưng mà MN∈ (ANB)→J∈ (ANB)→ J là điểm tầm thường của (ANB) với ( SBD)
Vậy : B, I, J thẳng hàng
Bài 2:Cho tứ giác ABCD và S∉(ABCD). Gọi I , J là haiđiểm trên AD với SB , AD cắt BC tại O với OJ cắt SC tại M .
1. Tìm kiếm giao điểm K = IJ và(SAC)
2. Xác định giao điểm L = DJ và(SAC)
3. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Bài giải
1. Search giao điểm K = IJ ∩(SAC)
Chọn mp phụ (SIB)⊃ IJTìm giao tuyến của (SIB ) cùng (SAC)S là điểm thông thường của (SIB ) cùng (SAC)
Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI
→ (SIB) ∩ ( SAC) = SE
Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE
K∈ IJ
K∈ SE nhưng SE⊂ (SAC )→ K∈ (SAC)
Vậy: K = IJ ∩ ( SAC)
2. Xác định giao điểm L = DJ ∩(SAC)
Chọn mp phụ (SBD)⊃ DJTìm giao tuyến của (SBD ) cùng (SAC)S là điểm thông thường của (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD
→(SBD) ∩ ( SAC) = SF
Trong (SBD), gọi L = DJ ∩ SFL∈ DJ
L∈ SF mà SF⊂ (SAC )→ L∈(SAC)
Vậy : L = DJ ∩ ( SAC)
3. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Ta có: A là điểm bình thường của (SAC) và ( AJO)
K∈ IJ nhưng mà IJ⊂ (AJO)→K∈(AJO)K∈SE mà lại SE⊂ (SAC )→ K∈ (SAC )→ K là điểm thông thường của (SAC) cùng ( AJO)
L∈ DJ màDJ⊂ (AJO)→L∈ (AJO)L∈ SF nhưng mà SF⊂ (SAC )→L∈ (SAC )→ L là điểm chung của (SAC) và (AJO)
M∈ JO mà lại JO⊂ (AJO)→ M∈ (AJO)M∈SC mà lại SC⊂(SAC )→M∈ (SAC )→ M là điểm bình thường của (SAC) và ( AJO)
Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng
Bài 3:Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên những cạnh SA, SB với AC làm thế nào để cho LMkhông tuy nhiên song với AB, LN không song song với SC.
1. Tra cứu giao tuyến của mp (LMN) cùng (ABC)
2. Tra cứu giao điểm I = BC ∩( LMN) cùng J = SC ∩( LMN)
3. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Bài giải
1. Tìm kiếm giao tuyến của mp (LMN) cùng (ABC)
Ta tất cả : N là điểm phổ biến của (LMN) với (ABC)
Trong (SAB) , LM không song song với AB
Gọi K = AB ∩ LM
K∈ LM mà LM⊂ (LMN ) →K∈ (LMN )
K∈ AB cơ mà AB⊂ ( ABC) → K∈(ABC)
2. Search giao điểm I = BC ∩( LMN)
Chọn mp phụ (ABC) ∩ BCTìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)→ (ABC) ∩ ( LMN) = NK
Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BCI∈ BC
I∈ NK nhưng NK⊂ (LMN )→I∈ (LMN)
Vậy : I = BC ∩ ( LMN)
Tìm giao điểm J = SC ∩( LMN)
Trong (SAC), LN không tuy vậy song với SCgọi J = LN ∩ SC
J∈ SC
J∈ LN mà lại LN⊂ (LMN )→J∈ (LMN)
Vậy : J = SC ∩ ( LMN)
3. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Ta gồm : M, I, J là điểm thông thường của (LMN) với ( SBC)
Vậy : M, I, J thẳng hàng
Bài 4:Cho tứ giác ABCD và S∉(ABCD). Gọi M , N là haiđiểm bên trên BC cùng SD.
1. Kiếm tìm giao điểm I = BN ∩( SAC)
2. Tìm giao điểm J = MN ∩( SAC)
3. Chứng minh C , I , J thẳng hàng
Bài giải
1. Tìm giao điểm I = BN ∩( SAC)
Chọn mp phụ (SBD) ∩ BNTìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD
→ (SBD) ∩ ( SAC) = SO
Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SOI∈ BN
I∈ SO nhưng mà SO⊂ (SAC )→I∈ (SAC)
Vậy : I = BN ∩ ( SAC)
2. Search giao điểm J = MN ∩( SAC):
Chọn mp phụ (SMD) ∩ MNTìm giao tuyến của (SMD ) cùng (SAC)trong (ABCD), gọi K = AC ∩ DM
→ (SMD) ∩ ( SAC) = SK
Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SKJ∈ MN
J∈ SK nhưng SK⊂ (SAC )→ J∈ (SAC)
Vậy : J = MN ∩ ( SAC)
3. Chứng minh C , I , J thẳng hàng:
Ta có: C, I, J là điểm chung của (BCN ) và (SAC)
Vậy : C, I , J thẳng hàng
Bài tập 5:Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.
a)Tìm giao điểm I của BN cùng (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
b)DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
c)Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
Lời giải đưa ra tiết
a) Gọi O là giao điểm AC với BD.
Trong mp(SBD), BN cắt SO tại đâu đó chính là điểm I.
Trong mp(ABCD), DM giao AC tại E.
Trong mp(SDM),SE∩MN=J.
b) Dễ thấy 3 điểm S, K, J đều thuộc 2 mặt phẳng là (SAC) và (SDM) nên 3 điểm S, K, J thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng bên trên hay chúng thẳng hàng.
c) trong mp(SAC), kẻ CI giao SA tại O.
Từ đó thiết diện tạo bởi mp(BNC) với hình chóp từ tứ giác BCNP.
Xem thêm: Bài Tập Hình Bình Hành Lớp 8, Các Dạng Toán Về Hình Bình Hành Và Cách Giải
Bài tập áp dụng
Bài tập 1:Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dãn dài tại J, FD cắt CA kéo dãn dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I ,J ,K thẳng hàng.
Bài tập 2:Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là nhị điểm trên cạnh AD, SB
a). Tìm các giao điểm K, L của IJ với DJ với (SAC)
b). AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hang