Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài bác tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao hàm công thức gì, hệ quả gì cùng cách chứng minh từng hệ quả ra làm sao cùng các dạng vấn đề thường găp là phần đa phần kỹ năng quan trọng, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ câu trả lời qua bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI




Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức bunhiacopxki

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bạn đã xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng tỏ và bài xích tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang tên gọi và đúng là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do cha nhà toán học hòa bình phát hiện cùng đề xuất, nó có khá nhiều ứng dụng trong các nghành nghề dịch vụ toán học. Ở nước ta, để cho cân xứng với lịch trình sách giáo khoa, trong tư liệu này bọn họ cũng sẽ call nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, call theo tên nhà Toán học tín đồ Nga Bunhiacopxki.


2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang đến 2 bộ số:

Với hai bộ số 

*
 và 
*
 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

Với quy cầu nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì khớp ứng bằng 0

*
*

Thì:

  

*

Đạt được khi:

  

*

Hệ quả 2:Nếu:

  

*

Thì:


  

*


đạt được khi:

  

*




Xem thêm: Từ Láy Là Gì? Cách Phân Biệt Từ Ghép Và Từ Láy Dễ Lẫn Lộn Một Số Cách Phân Biệt Từ Ghép, Từ Láy

  

*


Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi:

  

*

3. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao hàm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

*
*
*
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

*

*
 (điều cần chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức 

*

Lời giải:

*

Điều kiện: 

*

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*

A max = 2 khi 

*
(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi còn chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng ví như a, b, c là độ dài cha cạnh của một tam giác có phường là nửa chu vi thì 

*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*
(điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*
 hay tam giác là tam giác đều

b. Bài rèn luyện thêm

Bài 1: Tìm giá trị béo nhất của các biểu thức sau:

a, 

*

b, 

*

Bài 2: Cho a, b, c là những số thực dương tùy ý. Minh chứng rằng:

*

(gợi ý: biến hóa vế trái thành 

*
 rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng tỏ rằng:

*

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn nhu cầu abc = 1. Hội chứng minh:

*

Bài 5: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn nhu cầu x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + 

*