Có thể bạn chưa biết?Ta đã làm quen với các công thức lượng giác từ chương trình Toán lớp 11, mặc dù nhiên rất có thể nhiều fan trong bọn họ chưa biết cách minh chứng các công thức lượng giác đó như vậy nào, chính vì vậy trong chủ đề này, chúng ta sẽ kể tới một cách chứng tỏ các bí quyết lượng giác có áp dụng số phức, hay rõ ràng hơn là bí quyết Euler.

Bạn đang xem: Chứng minh công thức euler

*

Nhà toán học tập Leonhard Euler

Ta tất cả công thức rất danh tiếng do nhà toán học Euler phát biểu như sau: $e^ivarphi = cos varphi + isin varphi $ (việc chứng minh công thức này sẽ tiến hành đề cập tới trong một nội dung bài viết khác).

Bây giờ áp dụng công thức này với các biểu thức lượng giác nhân đôi, nhân ba thì ta có:$e^i.(2a) = cos 2a + isin 2a.$$e^i(a + a) = (cos a + isin a)^2$ $ = cos ^2a – sin ^2a + 2icos asin a.$Đến đây đồng điệu hệ số nhị vế ta sẽ thu được phương pháp góc nhân song là:$cos 2a = cos ^2a – sin ^2a.$$sin 2a = 2sin a.cos a.$Với công thức nhân ba thì cũng tương tự, ta có:$e^i(3a) = cos 3a + isin 3a.$$e^i(3a) = left( e^a ight)^3$ $ = (cos a + isin a)^3$ $ = cos ^3a + 3icos ^2a – 3cos a.sin ^2a – isin ^3a.$Đến trên đây ta cũng đồng hóa hệ số như bên trên và thực hiện công thức lượng giác không còn xa lạ $sin ^2x + cos ^2x = 1$ thì ta cũng chiếm được hai bí quyết nhân bố như ta sẽ biết.

Tiếp theo ứng dụng công thức Euler, ta có đổi khác sau:$e^i(a + b)$ $ = cos (a + b) + isin (a + b)$ $(1).$$e^ia.e^ib$ $ = .$$ = cos a.cos b – sin a.sin b$ $ + i(sin acos b + cos asin b)$ $(2).$Đồng nhất thông số ở nhì đẳng thức $(1)$ cùng $(2)$ ta thu được hai bí quyết lượng giác thân quen thuộc:$cos (a + b)$ $ = cos a.cos b – sin a.sin b.$$sin (a + b)$ $ = sin a.cos b + cos a.sin b.$

Tương từ cho phương pháp hiệu, ta có:$e^i(a – b)$ $ = cos (a – b) + isin (a – b).$$frace^iae^ib = fraccos a + isin acos b + isin b.$$ = frac(cos a + isin a)(cos b – isin b)cos ^2b + sin ^2b.$$ = cos acos b + sin asin b$ $ + i(sin acos b – cos asin b).$

Vậy câu hỏi đặt ra là với phương pháp biến tổng kết quả thì ta đang làm như thế nào?Trước tiên ta có:$e^ia = cos a + isin a$ $(3).$$e^ib = cos b + isin b$ $(4).$Tiếp theo ta lại có:$e^ileft( fraca + b2 ight).e^ileft( fraca – b2 ight)$ $ = left( cos fraca + b2 + isin fraca + b2 ight)left( cos fraca – b2 + isin fraca – b2 ight).$$ = cos fraca + b2.cos fraca – b2$ $ – sin fraca + b2.sin fraca – b2$ $ + ileft( sin fraca + b2.cos fraca – b2 + cos fraca + b2.sin fraca – b2 ight).$ $(5).$$e^ileft( fraca + b2 ight).e^ileft( fracb – a2 ight)$ $ = left( cos fraca + b2 + isin fraca + b2 ight)left( cos fracb – a2 + isin fracb – a2 ight).$$ = cos fraca + b2.cos fraca – b2$ $ + sin fraca + b2.sin fraca – b2$ $ + ileft( sin fraca + b2.cos fraca – b2 – cos fraca + b2.sin fraca – b2 ight)$ $(6).$Bây giờ rước $(3)$ cùng (hoặc trừ) với $(4)$ và $(5)$ cùng (hoặc trừ) cùng với $(6)$ ta có ngay các đẳng thức lượng giác quen thuộc. Từ cách làm này ta suy ra công thức biến tích thành tổng.

Xem thêm: Đáp Án Môn Toán Kỳ Thi Thpt Quốc Gia 2018, Đáp Án Và Đề Thi Thpt Quốc Gia 2018 Môn Toán

Ngoài ra các công thức tương quan tới các hàm $ an x$ cùng $cot x$ ta cũng áp dụng các chuyển đổi đại số thuần túy và những công thức đã chứng minh ở trên để suy ra nó. Các bạn cũng có thể từ cách làm Euler để suy ra các đẳng thức lượng giác khác phong phú và đa dạng hơn.

Cuối thuộc mình xin kết thúc bài viết này trên đây, nội dung bài viết sau sẽ đề cập tới cách chứng minh công thức Euler, mong các bạn đón đọc!