Có mấy cách chứng minh tứ giác nội tiếp

– phương pháp 3: chứng minh tứ giác tất cả hai góc đều bằng nhau cùng chú ý một cạnh

– phương pháp 4: minh chứng bốn đỉnh của tứ giác cùng phương pháp đều một điểm.

– phương thức 5: chứng minh nếu tứ giác ABCD gồm AB giảm CD trên M mà

MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp.

II. Bài xích tập mẫu

Bài 1. cho đường tròn vai trung phong O. Từ điểm A ở bên phía ngoài đường tròn (O) vẽ nhị tiếp đường AB cùng AC với đường tròn (B, C là nhì tiếp điểm). Bên trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB với AC theo thứ tự tại E với D. Minh chứng các tứ giác EBMO cùng DCOM nội tiếp được trong đường tròn. Khẳng định tâm những đường tròn đó.

Giải

– chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) yêu cầu góc OME bởi

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) yêu cầu góc OBE bằng

Vậy, tứ giác EBMO bao gồm hai góc vuông cùng quan sát cạnh OE nên tứ giác EBMO nội tiếp trong mặt đường tròn đường kính OE.

– minh chứng tứ giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) đề nghị góc OMD bằng

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp con đường của (O)) buộc phải góc OCD bằng

Vậy, tứ giác DCOM gồm hai góc vuông cùng chú ý cạnh OD cần tứ giác DCOM nội tiếp trong mặt đường tròn đường kính OD.

Bài 2. đến đường tròn trọng tâm O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Call d là tiếp tuyến tại B của con đường tròn (O), những đường trực tiếp AC, AD giảm d lần lượt tại p. Và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được mặt đường tròn.

Giải

Ta có:

Có: góc ADB bởi
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) và (2) suy ra:

⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Bài 3. Qua điểm B nằm ở bên phía ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp đường BC với BD với đường tròn (O), (C, D là những tiếp điểm). Trường đoản cú B vẽ cát tuyến BMN (M nằm trong lòng B cùng N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), hotline H là giao điểm của BO cùng CD.

a. Minh chứng BM.BN = BH.BO.

b. Chứng tỏ tứ giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (tính hóa học hai tiếp tuyến giảm nhau)

OC = OD (bán kính mặt đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD (1)

△BMC và △BCN có:

Nên △BMC đồng dạng △BCN (g.g)

Do (1) ta có △BCO vuông tại C, đường cao CH:

⇒
(3)

Từ (2) và (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minh trên)

△BMO và △BHN có:

⇒ △BMO đồng dạng △BHN (c.g.c)

⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc đều bằng nhau cùng nhìn một cạnh).

Bài 4. mang đến đường tròn chổ chính giữa O với điểm M nằm đi ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) trên E cùng F (ME

a. Chứng minh MA.MB = ME.MF.

Giải

a. Hai tam giác MAE với MBF có:

⇒ △MAE đồng dạng với △MBF (g.g)

Nên:

b. Bởi hệ thức lượng trong mặt đường tròn ta có:

MA.MB =

Mặt khác, hệ thức lượng vào tam giác vuông MCO cho ta:

MH.MO =
 ⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

III. Bài xích tập vận dụng

Bài 1. cho nửa mặt đường tròn vai trung phong O 2 lần bán kính AB = 2R. Call C, D là nhị điểm trên nửa con đường tròn đó sao để cho C thuộc dây AD với góc COD bởi
. Call giao điểm của nhị dây AD và BC và E, giao điểm của những đường thẳng AC và BD là F.

a. Chứng tỏ bốn điểm C, D, E, F thuộc nẳm bên trên một con đường tròn.

b. Tính nửa đường kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.

Bài 2. đến nửa đường tròn (O) đường kính BC. Rước điểm A bên trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa mặt đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp đường Bx của nửa mặt đường tròn (O) trên D (tia tiếp con đường Bx bên trong nửa khía cạnh phẳng bờ BC cất nửa con đường tròn (O)). Hotline H là giao điểm của BF cùng với DO, K là giao điểm đồ vật hai của DC với nửa con đường tròn (O).

a. Bệnh minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Minh chứng tứ giác KHOC nội tiếp.

Bài 3. mang đến hình thang cân nặng ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong mặt đường tròn (O). Kẻ những tiếp đường với mặt đường tròn (O) trên A cùng D chúng cắt nhau làm việc E. điện thoại tư vấn M là giao điểm của hai đường chéo cánh AC cùng BD.

Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một mặt đường tròn.

Bài 4. mang đến hai điểm A, B cố định và thắt chặt và góc xAy bằng
(B nằm trong miền trong góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường trực tiếp BN cắt Ax tại H và con đường thẳng BM giảm Ay tại K. điện thoại tư vấn I, J theo thứ tự là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng tỏ HK = 2MN

b. Minh chứng tứ giác MINJ nội tiếp được đường tròn.

Bài 5. mang đến góc vuông xOy cùng 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB giảm tia MA, MB theo thứ tự tại điểm thiết bị hai: C, E. Tia OE giảm đường tròn (T) trên điểm máy hai F.

a. Chứng tỏ bốn điểm: O, A, E, M nằm trong 1 con đường tròn.

b. Tứ giác OCFM là hình gì? trên sao?

Bài 6.

Xem thêm: Bài Toán 8 3 3 Bằng Mấy - Giật Mình Với Bài Toán 8

đến đường tròn trung khu O đường kính AB. Bên trên tia đối của tia AB rước điểm C (AB>BC). Vẽ con đường tròn tâm O’ 2 lần bán kính BC. điện thoại tư vấn I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc cùng với AC tại I, MC giảm đường tròn trung khu O’ tại D.