Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì các bạn sử dụng chung một công thức:
$left(dfracuv ight)’=dfracu’.v-u.v’v^2$
Một số dạng đặc biệt của hàm phân thức:
$ left (dfrac1x ight)’=dfrac-1x^2$; $ left (dfrac1u ight)’=dfrac-u’u^2$
Tuy nhiên cũng có thể có một số hàm phân thức bạn cũng có thể sử dụng những công thức tính đạo hàm nhanh. Thầy đang nói ví dụ trong từng dạng dưới nhé.
1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
$y=dfracax+bcx+d$
Công thức tính cấp tốc đạo hàm: $y’=dfracad-bc(cx+d)^2$
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac2x+34x+2$ b. $y=dfrac-x-22x+5$
Hướng dẫn:
a. $y=dfrac2x+34x+2$
=> $y’=dfrac(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac2(2x+2)-(2x+3).4(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac8x+4-8x-12(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
Sử dụng phương pháp tính nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac2.2-3.4(4x+2)^2$ => $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
b. $y=dfrac-x-22x+5$
=> $y’=dfrac(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1.(2x+5)-(-x-2).2(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-2x-5+2x+4(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1(2x+5)^2$
Sử dụng công thức nhanh tính đạo hàm:
$y= dfrac-x-22x+5$ => $y’=dfrac(-1).5-(-2).2(2x+5)^2=dfrac-5+4(2x+5)^2=dfrac-1(2x+5)^2$
2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
$y=dfracax^2+bx+cdx+e$
Công thức tính nhanh đạo hàm:$y=dfracadx^2+2aex+be-cd(dx+e)^2$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+2x+34x+5$b. $y=dfrac2x^2+3x-4-5x+6$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac8x^2+18x+10-4x^2-8x-12(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
Sử dụng phương pháp giải cấp tốc đạo hàm:
$y’=dfrac1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4(4x+5)^2=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
b. $y’=dfrac(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
Sử dụng bí quyết tính cấp tốc đạo hàm:
$y’=dfrac2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)(-5x+6)^2=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
$y=dfraca_1x^2+b_1x+c_1a_2x^2+b_2x+c_2$
Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
=> $y’=dfrac(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1(a_2x^2+b_2x+c_2)^2$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+x-2-x^2+3x+2$
Ta có:
$y’=dfrac(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac<1.3-1.(-1)>x^2+2<1.2-(-2)(-1)>x+<1.2-(-2).3> (-x^2+3x+2)^2 $
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
4. Một số trong những trường hợp quan trọng đặc biệt khi tính đạo hàm của hàm phân thức
Ví dụ 4: Tính đạo hàm những hàm số sau:a. $y=dfrac2x^2-2x+3$b. $y=left(dfracx+23x-1 ight)^3$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac-2.(x^2-2x+3)’(x^2-2x+3)^2=dfrac-2(2x-2)(x^2-2x+3)^2$
b. $y’=3.left(dfracx+23x-1 ight)^2left(dfracx+23x-1 ight)’= 3.left(dfracx+23x-1 ight)^2.dfrac-7(3x-1)^2 $
(ý này chúng ta áp dụng phương pháp đạo hàm $u^alpha=alpha.u^alpha-1.u’$ nhé)
Bài giảng trên cũng khá cụ thể và không thiếu thốn về các dạng toán tính đạo hàm của một vài hàm phân thức hữu tỉ.
Bạn đang xem: Công thức đạo hàm nhanh
Xem thêm: Viễn Thông Trường Đh Bách Khoa Điện Tử Viễn Thông Đại Học Bách Khoa Đà Nẵng
Nói bọn chúng để tính được đạo hàm dạng này thì các bạn chỉ cần sử dụng chung duy nhất một công thức $(dfracuv)’$ là có thể tính thoải mái và dễ chịu rồi. Nếu chúng ta có thêm công thức tính nào hay thì hãy chia sẻ dưới khung comment nhé.