Bài viết hướng dẫn một số cách giải phương trình bậc 3 tổng quát: so với nhân tử, phương pháp Cardano, phương pháp lượng giác hóa – hàm hyperbolic. Tùy vào các phương trình bậc 3 (phương trình bậc ba) sẽ có các cách giải tương xứng để nhận được lời ngắn gọn, dễ hiểu.
A. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT1. Phương thức phân tích nhân tửNếu phương trình bậc ba $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ bao gồm nghiệm $x = r$ thì có nhân tử $(x – r)$, vị đó hoàn toàn có thể phân tích: $ax^3 + bx^2 + cx + d$ $ = left( x – r ight)left< ax^2 + left( b + ar ight)x + c + br + ar^2 ight>.$Từ kia ta mang đến giải một phương trình bậc hai, bao gồm nghiệm là: $frac – b – ra pm sqrt b^2 – 4ac – 2abr – 3a^2r^2 2a.$
2. Cách thức CardanoXét phương trình bậc ba $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ $(1).$Đặt $x = y – fraca3$, phương trình $(1)$ luôn đổi khác được về dạng bao gồm tắc: $y^3 + py + q = 0$ $(2)$, trong đó: $p = b – fraca^23$, $q = c + frac2a^3 – 9ab27.$Ta chỉ xét $p,q e 0$ vị nếu $p=0$ hoặc $q=0$ thì đem về trường hợp 1-1 giản.Đặt $y=u+v$ nạm vào phương trình $(2)$, ta được: $left( u + v ight)^3 + pleft( u + v ight) + q = 0$ $ Leftrightarrow u^3 + v^3 + left( 3uv + p ight)left( u + v ight) + q = 0$ $(3).$Chọn $u$, $v$ làm sao cho $3uv+p=0$ $(4).$Như vậy, nhằm tìm $u$ với $v$, từ $(3)$ cùng $(4)$ ta gồm hệ phương trình: $left{ eginarraylu^3 + v^3 = – q\u^3v^3 = – fracp^327endarray ight.$Theo định lí Vi-ét, $u^3$ và $v^3$ là nhị nghiệm của phương trình: $X^2 + qX – fracp^327 = 0$ $(5).$Đặt $Delta = fracq^24 + fracp^327.$• lúc $Δ > 0$, phương trình $(5)$ tất cả nghiệm: $u^3 = – fracq2 + sqrt Delta $, $v^3 = – fracq2 – sqrt Delta .$Như vậy phương trình $(2)$ sẽ có nghiệm thực độc nhất là: $y = sqrt<3> – fracq2 + sqrt Delta + sqrt<3> – fracq2 – sqrt Delta .$• khi $Δ=0$, phương trình $(5)$ có nghiệm kép: $u = v = – sqrt<3>fracq2.$Khi đó, phương trình $(2)$ bao gồm hai nghiệm thực, trong số ấy một nghiệm kép: $y_1 = 2sqrt<3> – fracq2$, $y_2 = y_3 = sqrt<3>fracq2.$• khi $Δ Gọi $u_0^3$ là một nghiệm phức của $(5)$, $v_0^3$ là giá bán trị tương ứng sao cho $u_0v_0 = – fracp3.$Khi đó, phương trình $(2)$ có tía nghiệm phân biệt: $y_1 = u_0 + v_0$, $y_2 = – frac12left( u_0 + v_0 ight) + ifracsqrt 3 2left( u_0 – v_0 ight)$, $y_3 = – frac12left( u_0 + v_0 ight) – ifracsqrt 3 2left( u_0 – v_0 ight).$
3. Phương pháp lượng giác hoáMột phương trình bậc ba, nếu bao gồm $3$ nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ tương quan đến số phức. Vị vậy ta thường xuyên dùng cách thức lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản dễ dàng hơn, dựa vào hai hàm số $cos$ cùng $arccos.$Cụ thể, tự phương trình $t^3 + pt + q = 0$ $(*)$, ta đặt $t = ucos alpha $ cùng tìm $u$ để hoàn toàn có thể đưa $(*)$ về dạng: $4cos ^3alpha – 3cos alpha – cos3alpha = 0.$Muốn vậy, ta chọn $u = 2sqrt frac – p3 $ và phân tách $2$ vế của $(*)$ cho $fracu^34$ để được: $4cos ^3alpha – 3cos alpha – frac3q2psqrt frac – 3p = 0$ $ Leftrightarrow cos 3alpha = frac3q2psqrt frac – 3p .$Vậy $3$ nghiệm thực là: $t_i = 2sqrt frac – p3 cos left< frac13arccos left( frac3q2psqrt frac – 3p
ight) – frac2ipi 3
ight>$ với $i = 0, 1, 2.$Lưu ý rằng trường hợp phương trình bao gồm $3$ nghiệm thực thì $p
Phương trình không có nghiệm hữu tỉ cần không thể đối chiếu nhân tử. Trước lúc nghĩ tới bí quyết Cardano, ta test quy đồng phương trình: $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0.$Đại lượng $3x^2 + 3x + 1$ gợi ta cho hằng đẳng thức thân quen sau: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = left( x + 1 ight)^3.$Do kia phương trình tương đương: $left( x + 1 ight)^3 = – 2x^3$ $ Leftrightarrow x + 1 = – sqrt<3>2x.$Từ đó suy ra phương trình gồm nghiệm duy nhất: $x = frac – 11 + sqrt<3>2.$
Nhận xét: lấy ví dụ trên là 1 phương trình bậc tía có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khéo léo chuyển đổi đẳng thức. Tuy nhiên, phần nhiều bài dễ dàng như ráng này không tồn tại nhiều. Sau đây ta đã đi sâu vào công thức Cardano:
Ví dụ 2. Giải phương trình: $x^3 – 3x^2 + 4x + 11 = 0.$
Đặt $x = y + 1$, thay vào phương trình đầu bài, ta được: $y^3 + 1.y + 13 = 0.$Tính $Delta = 13^2 + frac427.1^3$ $ = frac456727 ge 0.$Áp dụng bí quyết Cardano suy ra: $y = sqrt<3>frac – 13 + sqrt frac456727 2$ $ + sqrt<3>frac – 13 – sqrt frac456727 2.$Suy ra: $x = sqrt<3>frac – 13 + sqrt frac456727 2$ $ + sqrt<3>frac – 13 – sqrt frac456727 2 + 1.$
Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ phiên bản của phương pháp Cardano. Tuy nhiên, cách làm này không thể dễ nhớ và chỉ được dùng trong số kì thi học viên giỏi. Vì thế, tất cả lẽ bọn họ sẽ nỗ lực tìm một con đường “hợp thức hóa” các giải thuật trên, kia là cách thức lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng $x^3 + px + q = 0$ với $p Ví dụ 3. Giải phương trình: $x^3 + 3x^2 + 2x – 1 = 0.$
Đầu tiên đặt $x=y-1$ ta đem về phương trình $y^3 – y – 1 = 0$ $(1)$, mang lại đây ta cần sử dụng lượng giác như sau:Nếu $left| y ight| Phương trình tương đương $frac83sqrt 3 cos ^3alpha – frac2sqrt 3 cos alpha – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 3alpha = frac3sqrt 3 2$ (vô nghiệm).Do đó $left| y ight| ge frac2sqrt 3 $. Như vậy luôn tồn trên $t$ thỏa $y = frac1sqrt 3 left( t + frac1t ight)$ $(*).$ nỗ lực vào $(1)$ ta được phương trình $fract^33sqrt 3 + frac13sqrt 3 t^3 – 1 = 0$, vấn đề giải phương trình này sẽ không khó, xin dành cho chính mình đọc.Ta tìm được nghiệm: $x = frac1sqrt 3 left< sqrt<3>frac12left( 3sqrt 3 – sqrt 23 ight) + frac1sqrt<3>frac12left( 3sqrt 3 – sqrt 23 ight) ight> – 1.$
Nhận xét: Câu hỏi đưa ra là: “Sử dụng phương thức trên như vậy nào?”. Mong muốn trả lời, ta nên làm rõ ràng hai vấn đề:+ vấn đề 1. Có luôn tồn tại $t$ thoả mãn cách đặt trên?Đáp án là không. Coi $(*)$ là phương trình bậc nhì theo $t$ ta sẽ tìm kiếm được điều kiện $left| y ight| ge frac2sqrt 3 .$ thiệt ra hoàn toàn có thể tìm nhanh bằng phương pháp dùng bất đẳng thức AM – GM: $left| y ight| = left| frac1sqrt 3 left( t + frac1t ight) ight|$ $ = frac1sqrt 3 left( t ight ight) ge frac2sqrt 3 .$Vậy trước tiên ta phải chứng minh $(1)$ không tồn tại nghiệm $left| y ight| + vụ việc 2. Vày sao bao gồm số $frac2sqrt 3 $?Ý tưởng của ta là từ bỏ phương trình $x^3+px+q=0$ mang đến một phương trình trùng phương theo $t^3$ qua phương pháp đặt $x = kleft( t + frac1t ight).$ triển khai và đồng nhất hệ số ta được $k = sqrt frac – p3 .$Sau đây là phương trình dạng $x^3+px+q=0$ với $p Ví dụ 4. Giải phương trình: $x^3 – x^2 – 2x + 1 = 0.$
Đặt $y = x – frac13$, ta được phương trình: $y^3 – frac73y + frac727 = 0$ $(*).$Với $left| y ight| nạm vào $(*)$, ta được: $cos 3alpha = – fracsqrt 7 14$, đây là phương trình lượng giác cơ bản.Dễ dàng kiếm được ba nghiệm của phương trình ban đầu: $x_1 = frac2sqrt 7 3cos left< fracarccos left( – fracsqrt 7 14 ight)3 ight> + frac13$, $x_2,3 = frac2sqrt 7 3cos left< frac pm arccos left( – fracsqrt 7 14 ight)3 + frac2pi 3 ight> + frac13.$Do phương trình bậc ba có về tối đa $3$ nghiệm phân biệt bắt buộc ta không bắt buộc xét ngôi trường hợp $left| y ight| ge frac2sqrt 7 3.$
Nhận xét: Ta cũng có thể có thể minh chứng phương trình vô nghiệm lúc $left| y ight| ge frac2sqrt 7 3$ bằng cách đặt $y = fracsqrt 7 3left( t + frac1t ight)$ giống như ví dụ 3, từ đó mang đến một phương trình trùng phương vô nghiệm.Tổng kết lại, ta cần sử dụng phép để ẩn phụ $y = sqrt frac – p3 left( t + frac1t ight)$ $(*)$ như sau:+ nếu phương trình tất cả $1$ nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm lúc $left| y ight| + nếu như phương trình bao gồm $3$ nghiệm thực, minh chứng phương trình vô nghiệm lúc $left| y ight| ge 2sqrt frac – p3 $ bởi phép để $(*)$ (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo $t$). Lúc $left| y ight| le 2sqrt frac – p3 $ thì để $frac2sqrt frac – p3 = cos alpha $, từ đó tìm $α$, suy ra $3$ nghiệm $y.$Còn lúc $p>0$ không khó minh chứng phương trình có nghiệm duy nhất:
Ví dụ 5. Giải phương trình: $x^3 + 6x + 4 = 0.$
Ý tưởng: Ta sẽ cần sử dụng phép đặt $x = kleft( t – frac1t
ight)$ để mang về phương trình trùng phương.
Bạn đang xem: Công thức nghiệm phương trình bậc 3
Xem thêm: Dựa Vào Kiến Thức Đã Học Em Hãy Cho Biết Ý Nghĩa Của Câu Tục Ngữ Đi Một Ngày Đàng Học Một Sàng Khôn
Để ý phép đặt này không cần đk của $x$, do nó tương đương $kleft( t^2 – 1
ight) – xt = 0.$ Phương trình trên luôn có nghiệm theo $t$.Như vậy tự phương trình đầu ta được: $k^3left( t^3 – frac1t^3
ight) – 3k^3left( t – frac1t
ight)$ $ + 6kleft( t – frac1t
ight) + 4 = 0.$Cần lựa chọn $k$ thỏa $3k^3 = 6k$ $ Rightarrow k = sqrt 2 .$Vậy ta có giải thuật bài toán như sau:Đặt $x = sqrt 2 left( t – frac1t
ight)$, ta có phương trình: $2sqrt 2 left( t^3 – frac1t^3
ight) + 4 = 0$ $ Leftrightarrow t^6 – 1 + sqrt 2 t^3 = 0$ $ Leftrightarrow t_1,2 = sqrt<3>frac – 1 pm sqrt 3 sqrt 2 .$Lưu ý rằng $t_1t_2 = – 1$ theo định lí Vi-ét đề xuất ta chỉ nhận ra một quý hiếm của $x$ là: $x = t_1 + t_2$ $ = sqrt 2 left( sqrt<3>frac – 1 + sqrt 3 sqrt 2 + sqrt<3>frac – 1 – sqrt 3 sqrt 2
ight).$
Ví dụ 6. Giải phương trình $4x^3 – 3x = m$ với $left| m ight| > 1.$
Nhận xét rằng khi $left| x ight| le 1$ thì $left| VT ight| le 1 trường đoản cú đó: $t = sqrt<3>m pm sqrt m^2 – 1 $ $ Rightarrow x = frac12left( sqrt<3>m + sqrt m^2 – 1 + sqrt<3>m – sqrt m^2 – 1 ight).$Ta chứng tỏ đây là nghiệm độc nhất vô nhị của phương trình.Giả sử phương trình gồm nghiệm $x_0$ thì $x_0 otin left< – 1;1 ight>$ vì $left| x_0 ight| > 1.$ khi đó: $4x^3 – 3x = 4x_0^3 – 3x_0$ $ Leftrightarrow left( x – x_0 ight)left( 4x^2 + 4xx_0 + 4x_0^2 – 3 ight) = 0.$Xét phương trình: $4x^2 + 4xx_0 + 4x_0^2 – 3 = 0.$Ta có: $Delta ‘ = 12 – 12x_0^2 Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm nhất là: $x = frac12left( sqrt<3>m + sqrt m^2 – 1 + sqrt<3>m – sqrt m^2 – 1 ight).$