1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K giả dụ F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm của căn

2. đặc điểm nguyên hàm

Nguyên hàm tất cả 3 tính chất đặc biệt cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng bí quyết nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi biến tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số nhưng mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: lúc ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dị 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u và dv: kiếm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: đồ vật tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, hai đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tra cứu f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn cách bấm máy tính nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: dấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight)_x = X – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá chỉ nghiệm

Nếu hiệu quả bằng 0 (gần bởi 0 ) thì chính là đáp án phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm trang bị tính

Bước 1: Nhập vào laptop casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong công dụng A và C nếu đến X = 2 thì phần nhiều cho tác dụng là 0. Vậy khi tất cả trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất thì cho X một giá bán trị mang lại biểu thức vào trị tuyệt đối hoàn hảo âm.

Kết luận: Chọn lời giải A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một nhiều thứcTa lựa lựa chọn 1 trong hai giải pháp sau:

Cách 1: áp dụng nguyên hàm từng phần, tiến hành theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: nắm vào công thức nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tục thủ tục như bên trên ta đã khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: Giải Bài Tập Đạo Hàm Lớp 11 Chương 5: Đạo Hàm, Giải Toán Lớp 11 Chương 5: Đạo Hàm

* Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, triển khai theo công việc sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong những số đó $A(x)$ với $B(x)$ là các đa thức cùng bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: đem đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương thức hệ số bất định ta xác minh được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: giả dụ bậc của nhiều thức lớn hơn $3$ thì phương pháp 1 trầm trồ cồng kềnh, vì khi đó ta tiến hành số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của đa thức, cho nên ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ tuổi hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta áp dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài bác tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo nhấn xét trên, ta sử dụng phương thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng duy nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$