dai so la gi

Đại số (tiếng Anh: algebra) là 1 phân nhánh rộng lớn của toán học tập, cùng theo với lý thuyết số, hình học tập và giải tích. Theo nghĩa cộng đồng nhất, đại số là sự phân tích về ký hiệu toán học tập và những quy tắc cho những thao tác những ký hiệu trên; nó là 1 chủ thể thống nhất của đa số toàn bộ nghành nghề của toán học tập.^[1] Như vậy, đại số bao hàm toàn bộ tất cả kể từ Giải phương trình cung cấp tè học tập cho tới những phân tích trừu tượng như group, vòng và ngôi trường. Phần cơ bạn dạng rộng lớn của đại số được gọi là đại số sơ cung cấp, phần trừu tượng rộng lớn của chính nó được gọi là đại số trừu tượng hoặc đại số tân tiến. Đại số sơ cung cấp thông thường được xem là quan trọng mang đến ngẫu nhiên phân tích toán học tập, khoa học tập, hoặc chuyên môn này, cũng tựa như các phần mềm không giống tựa như các ngành nó học tập và tài chính. Đại số trừu tượng là 1 nghành nghề cần thiết vô Toán học tập tiên tiến và phát triển, là đối tượng người sử dụng phân tích đa phần của những mái ấm toán học tập có trách nhiệm. Hầu không còn những trở thành tựu trước tiên của môn đại số đều phải có xuất xứ giờ Ả Rập như cái brand name của chính nó vẫn khêu ý, đang được những mái ấm toán học tập người Ba Tư phân tích bên trên Trung Đông^[2][3] như Al-Khwārizmī (780–850)^[4] và Omar Khayyam (1048–1131).^[5]

Đại số sơ cung cấp không giống số học tập trong các việc dùng những định nghĩa trừu tượng, ví dụ như dùng vần âm để thay thế mang đến số lượng hoặc là không biết hoặc được cho phép có không ít độ quý hiếm.^[6] Ví dụ, vô phương trình vần âm là không biết, tuy nhiên luật nghịch tặc hòn đảo rất có thể được dùng nhằm lần đi ra độ quý hiếm của nó: Trong biểu thức E = mc², những vần âm và là những trở thành số, còn vần âm là 1 hằng số, vận tốc khả năng chiếu sáng vô chân ko. Đại số đưa đến cách thức nhằm giải phương trình và thể hiện nay công thức đơn giản rộng lớn (đối với những người dân biết thực hiện thế này nhằm dùng chúng) đối với cách thức cũ người sử dụng ngữ điệu viết lách đi ra toàn bộ tất cả vị lời nói.

Từ đại số cũng khá được dùng vô cơ hội thường xuyên ngành chắc chắn. Các phân ngành của đối tượng người sử dụng toán học tập vô đại số trừu tượng được gọi là "đại số", và kể từ này được dùng trong những cụm kể từ như đại số tuyến tính và tô pô đại số.

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

"Đại số" là 1 kể từ Hán-Việt (代數), chỉ cho tới việc dùng ký hiệu nhằm đại diện thay mặt cho những số lượng. Từ này được mái ấm toán học tập Trung Quốc Lý Thiện Lan (李善蘭) dịch đi ra kể từ định nghĩa kể từ Tây phương. Trong những ngữ điệu Tây phương, kể từ đại số (algebra) phân phát mối cung cấp kể từ giờ Ả Rập الجبر (al-jabr, Có nghĩa là phục chế). Nó được lấy kể từ tựa đề cuốn sách Ilm al-jabr wa'l-muḳābala của al-Khwarizmi.

Đại số như 1 phân nhánh của toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số chính thức với những đo lường và tính toán tương tự động như số học tập, với vần âm thay cho mang đến chữ số.^[6] Vấn đề này được cho phép minh chứng những tấp tểnh lý hoặc công thức là trúng tuy nhiên ko cần quan hoài cho tới những số đem tương quan. Ví dụ, vô phương trình bậc hai

rất có thể là ngẫu nhiên số này (ngoại trừ cần không giống ), và công thức giải phương trình bậc nhị rất có thể được dùng nhanh gọn và đơn giản nhìn thấy những độ quý hiếm của trở thành số .

Trong quy trình cải tiến và phát triển, đại số đang được không ngừng mở rộng cho tới những đối tượng người sử dụng ko cần số không giống, ví dụ như vectơ, ma mãnh trận và nhiều thức. Sau ê, những tính chất cấu tạo của những đối tượng người sử dụng ko cần số này được tóm lược nhằm xác lập những cấu tạo đại số như group, vòng và ngôi trường.

Trước thế kỷ 16, toán học tập được phân thành nhị nghành nghề số học tập và hình học tập. Mặc mặc dù một vài cách thức đang được cải tiến và phát triển từ xưa, rất có thể được xem là đại số, tuy nhiên sự xuất hiện nay của đại số, và ko lâu tiếp sau đó, những quy tắc vi phân và tích phân như 1 nghành nghề của toán học tập chỉ mất kể từ thế kỷ 16 hoặc 17. Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở lên đường, nhiều nghành nghề mới nhất của toán học tập xuất hiện nay, đa số vô số này đã dùng cả số học tập và hình học tập, và gần như là toàn bộ vô số này đều dùng đại số.

Ngày ni, đại số vẫn cải tiến và phát triển cho tới Khi nó vẫn bao hàm nhiều ngành của toán học tập, như rất có thể thấy vô Phân loại Chủ đề Toán học^[7] điểm không tồn tại nghành nghề này vô số những nghành nghề cường độ trước tiên (với nhị chữ số) được gọi là đại số. Ngày ni đại số bao hàm những phần 08 – Hệ thống đại số cộng đồng, 12 – Lý thuyết ngôi trường và nhiều thức, 13 – Đại số phó hoán, 15 – Đại số tuyến tính và đại số nhiều tuyến; Lý thuyết ma mãnh trận, 16 – Vành phối hợp và đại số, 17 – Vành ko phối hợp và đại số, 18 – Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19 – Thuyết K và đôi mươi – Lý thuyết group. Đại số cũng khá được dùng rộng thoải mái vô 11 – Lý thuyết số và 14 – Hình học tập đại số.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lịch sử thuở đầu của đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Cội mối cung cấp của đại số đem xuất xứ kể từ người Babylon cổ truyền,^[8] vốn liếng vẫn cải tiến và phát triển một khối hệ thống số học tập tiên tiến và phát triển mà người ta vẫn rất có thể thực hiện những quy tắc tính theo dõi phong thái thuật toán. Người Babylon vẫn cải tiến và phát triển những công thức nhằm đo lường và tính toán những lời nói giải cho những câu hỏi tuy nhiên thời nay thông thường được giải quyết và xử lý bằng phương pháp dùng phương trình tuyến tính, phương trình bậc nhị, và phương trình tuyến tính ko xác lập. trái lại, đa số người Ai Cập của thời đại này, cũng tựa như các mái ấm toán học tập Hy Lạp và Trung Quốc vô thiên niên kỷ 1 TCN, thông thường giải những phương trình vì vậy vị cách thức hình học tập, ví dụ điển hình tựa như các tế bào mô tả vô sách toán viết lách trong giấy tờ vệ sinh sậy Rhind, Cơ sở của Euclid và Cửu chương toán thuật. Lời giải vị hình học tập của những người Hy Lạp, vượt trội vô cuốn Cơ sở, cung cung cấp một phạm vi mang đến việc bao quát công thức không chỉ là giành riêng cho lời nói giải của những câu hỏi rõ ràng mà còn phải trả bọn chúng vào một trong những khối hệ thống cộng đồng rộng lớn nhằm tế bào mô tả và giải phương trình, tuy nhiên điều này sẽ không còn được triển khai cho tới Khi toán học tập cải tiến và phát triển vô Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.^[9]

Đến thời của Plato, toán học tập Hy Lạp vẫn trải qua quýt một sự thay cho thay đổi uy lực. Người Hy Lạp cổ truyền đưa đến một dạng đại số hình học tập, vô ê những kể từ ngữ được đại diện thay mặt vị những mặt mày của những đối tượng người sử dụng hình học tập, thông thường là những dòng sản phẩm kẻ với những vần âm link ở ở bên cạnh.^[6] Diophantus (thế kỷ 3) là 1 mái ấm toán học tập Hy Lạp ở Alexandria và là người sáng tác của hàng loạt những cuốn sách mang tên Arithmetica. Những cuốn sách này triệu tập vô việc giải quyết và xử lý phương trình đại số,^[10] và đã lấy lý thuyết số cho tới với phương trình Diophantos.

Các cách thức đại số hình học tập vẫn thảo luận phía trên đem tác động thẳng cho tới mái ấm toán học tập người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (khoảng 780 – 850). Ông tiếp sau đó vẫn viết lách cuốn sách Cách đo lường và tính toán dựa vào Phục hồi và cân nặng bằng. Cuốn sách này vẫn đầu tiên trả đại số trở thành một phân nhánh song lập của toán học tập, tách rời đại số ngoài hình học tập và số học tập.^[11]

Các mái ấm toán học tập thời Hellenistic Hero của Alexandria và Diophantus^[12] cũng tựa như các mái ấm toán học tập bấm Độ như Brahmagupta tiếp tục truyền thống lịch sử của Ai Cập và Babylon, tuy nhiên kiệt tác của Arithmetica của Diophantus và kiệt tác Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta ở sang trọng cao hơn nữa.^[13] Ví dụ, biện pháp số học tập tương đối đầy đủ trước tiên (bao bao gồm cả những nghiệm là số ko và số âm) của phương trình bậc nhị được Brahmagupta tế bào mô tả vô cuốn sách Brahmasphutasiddhanta. Sau ê, những mái ấm toán học tập Ba Tư và Ả Rập cải tiến và phát triển cách thức đại số ở một cường độ tinh xảo cao hơn nữa nhiều. Mặc mặc dù Diophantus và người Babylon dùng cách thức bên trên điểm quan trọng đặc biệt nhằm giải quyết và xử lý những phương trình, góp phần của Al-Khwarizmi là cơ bạn dạng. Ông vẫn giải quyết và xử lý phương trình tuyến tính và phương trình bậc nhị tuy nhiên ko người sử dụng hình tượng đại số, số âm hoặc số ko, bởi vậy ông vẫn cần tách biệt phương trình bậc nhị tổng quát lác trở thành một vài loại phương trình không giống nhau.^[14]

Trong toàn cảnh đại số được xác lập với những lý thuyết của phương trình, mái ấm toán học tập người Hy Lạp Diophantus được nghe biết như thể "cha đẻ của đại số" tuy nhiên trong thời hạn thời gian gần đây có không ít cuộc tranh biện về sự việc liệu al-Khwarizmi, người tạo nên đi ra quy tắc thay đổi al-jabr (khôi phục), xứng danh rộng lớn với thương hiệu bên trên.^[15] Những người cỗ vũ Diophantus đã cho thấy thực tiễn là những quy tắc thay đổi đại số vô Al-Jabr đem phần sơ cung cấp rộng lớn Khi đối chiếu với những quy tắc thay đổi đại số vô Arithmetica và Arithmetica ngắn ngủi gọn gàng rộng lớn trong lúc Al-Jabr trọn vẹn người sử dụng ngữ điệu thông thường.^[16] Những người cỗ vũ Al-Khwarizmi đã cho thấy thực tiễn là ông vẫn reviews cách thức "giảm" và "cân bằng" (bỏ lên đường hoặc trừ lên đường cả nhị vế của phương trình mang đến và một số), kể từ ê đem thuật ngữ al-jabr,^[17] và ông vẫn phân tích và lý giải tương đối đầy đủ về phong thái giải phương trình bậc nhị,^[18] tất nhiên là những minh chứng vị hình học tập, trong lúc coi đại số là 1 ngành song lập của riêng rẽ nó.^[19] Đại số của ông đã và đang không thể tương quan "với hàng loạt những câu hỏi rất cần phải giải quyết và xử lý, tuy nhiên đang trở thành một cuộc triển lãm chính thức với những định nghĩa vẹn toàn thủy, vô ê những tình huống thể hiện cần bao hàm toàn bộ tài năng rất có thể mang đến phương trình, điều này vẫn chứng minh đối tượng người sử dụng thực sự của việc nghiên cứu". Ông cũng phân tích phương trình ko tùy theo câu hỏi và "một cơ hội tóm lại, phương trình không chỉ là giản dị và đơn giản là xuất hiện nay vô quy trình giải quyết và xử lý một câu hỏi, tuy nhiên nó được đưa đến nhằm giải quyết và xử lý vô số câu hỏi nằm trong loại".^[20]

Một mái ấm toán học tập người Ba Tư không giống là Omar Khayyám đang được ghi công với việc xác lập những nền tảng của hình học tập đại số và nhìn thấy cơ hội giải vị cách thức hình học tập tổng quát lác của phương trình bậc tía. Tuy nhiên, một mái ấm toán học tập người Ba Tư không giống thương hiệu Sharaf al-Dīn al-Tusi, nhìn thấy cơ hội giải đại số và số học tập mang đến một loạt tình huống không giống nhau của phương trình bậc tía.^[21] Ông cũng cải tiến và phát triển những định nghĩa về hàm số.^[22] Các mái ấm toán học tập bấm Độ Mahavira và Bhaskara II, mái ấm toán học tập Ba Tư Al-Karaji,^[23] và mái ấm toán học tập Trung Quốc Chu Thế Kiệt giải quyết và xử lý một vài phương trình bậc tía, tứ, năm và bậc cao hơn nữa dùng những cách thức số. Trong thế kỷ 13, cơ hội giải một phương trình bậc tía của Fibonacci là đại diện thay mặt mang đến khởi điểm của hồi sinh vô phân tích đại số ở châu Âu. Khi trái đất Hồi giáo dần dần suy vi, trái đất châu Âu dần dần cải tiến và phát triển. Và kể từ ê đại số vẫn cải tiến và phát triển không dừng lại ở đó.

Lịch sử đại số hiện nay đại[sửa | sửa mã nguồn]

François Viète là kẻ vẫn đem những phân tích mới nhất về đại số vô vào cuối thế kỷ 16. Năm 1637, René Descartes xuất bạn dạng cuốn La Géométrie, phân phát loài kiến đi ra hình học tập giải tích và reviews ký hiệu đại số tân tiến. Các sự khiếu nại cần thiết khắc ghi sự cải tiến và phát triển của đại số là biện pháp đại số cộng đồng của phương trình bậc tía và bậc tứ, được cải tiến và phát triển vô vào giữa thế kỷ 16. Ý tưởng về tấp tểnh thức được mái ấm toán học tập Nhật Seki Kōwa cải tiến và phát triển vô thế kỷ 17, cùng theo với phân tích song lập của Gottfried Leibniz 10 năm tiếp sau đó nhằm mục tiêu giải quyết và xử lý hệ phương trình tuyến tính dùng ma mãnh trận. Gabriel Cramer đã và đang phân tích về ma mãnh trận và tấp tểnh thức vô thế kỷ 18. Hoán vị được Joseph-Louis Lagrange phân tách vô luận văn năm 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, triệu tập vô những lời nói giải của phương trình đại số, vô ê ông reviews nhiều thức hạn chế bậc Lagrange. Paolo Ruffini là kẻ trước tiên cải tiến và phát triển những lý thuyết về group hoạn, và cũng tựa như các người lên đường trước, triệu tập vô việc giải phương trình đại số.

Đại số trừu tượng đang được cải tiến và phát triển vô thế kỷ 19, khởi đầu từ sự quan hoài cho tới việc giải quyết và xử lý những phương trình, thuở đầu triệu tập vô những gì giờ đây được gọi là lý thuyết Galois, và về những yếu tố số đem tài năng thi công.^[24] George Peacock là kẻ tạo nên trí tuệ định đề vô số học tập và đại số. Augustus De Morgan phân phát loài kiến đi ra đại số mối liên hệ vô cuốn sách Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs cải tiến và phát triển đại số của những vectơ vô không khí tía chiều, và Arthur Cayley cải tiến và phát triển đại số của ma mãnh trận (đây là 1 đại số ko phó hoán).^[25]

Xem thêm: cong thuc hidroxit

Các nghành nghề toán học tập mang tên gắn kèm với đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nghành nghề của toán học tập thuộc sở hữu đại số trừu tượng mang tên gắn kèm với đại số; đại số tuyến tính là 1 ví dụ. Một số không giống ko mang tên gắn kèm với đại số, ví dụ như lý thuyết group, lý thuyết vòng và lý thuyết ngôi trường. Trong phần này tiếp tục liệt kê một vài nghành nghề của toán học tập với kể từ "đại số" vô thương hiệu.

• Đại số sơ cung cấp là phần đại số thông thường được dạy dỗ trong những khóa huấn luyện cơ bạn dạng của toán học tập.
• Đại số trừu tượng, vô ê những cấu tạo đại số như group, vòng và ngôi trường được khái niệm và lần hiểu.
• Đại số tuyến tính phân tích đặc điểm của phương trình tuyến tính, không khí vectơ và ma mãnh trận.
• Đại số phó hoán, phân tích về những vòng phó hoán.
• Đại số PC, phân tích cơ hội triển khai những cách thức đại số như thuật toán và công tác PC.
• Đại số đồng điều, phân tích về những cấu tạo đại số tuy nhiên là nền tảng mang đến phân tích không khí tôpô.
• Đại số phổ quát lác, phân tích đặc điểm của toàn bộ những cấu tạo đại số.
• Lý thuyết số đại số, vô ê những tính chất của số được phân tích kể từ ý kiến đại số.
• Hình học tập đại số, một Trụ sở của hình học tập, ở dạng vẹn toàn thủy của chính nó xác lập lối cong và mặt phẳng như lời nói giải của phương trình nhiều thức.
• Tổ thích hợp đại số, vô ê cách thức đại số được dùng nhằm phân tích những câu hỏi tổng hợp.

Nhiều cấu tạo toán cũng khá được gọi là đại số:

• Đại số bên trên một ngôi trường hoặc đại số bên trên một vòng.
  Nhiều group của đại số bên trên một ngôi trường hoặc bên trên một vòng mang trong mình 1 thương hiệu cụ thể:
  • Đại số phó hoán
  • Đại số ko phó hoán
  • Đại số Lie
  • Đại số Hopf
  • Đại số C*
  • Đại số đối xứng
  • Đại số ngoài
  • Đại số Tensor
• Trong lý thuyết đo
  • Đại số sigma
  • Đại số bên trên một luyện hợp
• Trong lý thuyết phân loại
  • Đại số F và F-coalgebra
  • Đại số T
• Trong logic,
  • Đại số quan liêu hệ: một giao hội những mối liên hệ là đóng góp với những toán tử chắc chắn.
  • Đại số Boole, một cấu tạo trừu tượng hóa những đo lường và tính toán với độ quý hiếm luân lý sai và đúng. Các cấu tạo cũng đều có nằm trong thương hiệu.
  • Đại số Heyting

Đại số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số sơ cấp là mẫu mã cơ bạn dạng nhất của đại số. Nó được dạy dỗ mang đến những học viên không tồn tại kiến thức và kỹ năng này về toán học tập ngoài các phép tắc cơ bạn dạng của số học tập. Trong số học tập, chỉ số và quy tắc toán số học tập (chẳng hạn như +, -, ×, ÷) được sử dụng. Trong đại số, số thông thường được màn biểu diễn vị những ký hiệu được gọi là trở thành số (như là a, n, x, y hoặc z). Điều này đặc biệt hữu ích vì:

• Nó được cho phép viết lách những tấp tểnh luật cộng đồng của số học tập (như a + b = b + a mang đến từng a và b), và bởi vậy là bước trước tiên nhằm tò mò một cơ hội khối hệ thống những tính chất của khối hệ thống số thực.
• Nó được cho phép tham ô chiếu cho tới những số "chưa biết", thi công những phương trình và phân tích thực hiện thế này nhằm giải quyết và xử lý bọn chúng. (Ví dụ, "Tìm một vài x sao mang đến 3x + 1 = 10" hoặc ra đi rộng lớn "Tìm một vài x sao mang đến ax + b = c". Cách trừu tượng này kéo đến Tóm lại rằng việc giải quyết và xử lý những phương trình ko tương quan cho tới thực chất của những số lượng rõ ràng tuy nhiên chỉ tương quan cho tới cơ hội giải quyết và xử lý những phương trình bên trên.)
• Nó được cho phép tế bào mô tả những mối liên hệ hàm số. (Ví dụ, "Nếu các bạn bán tốt x vé, thì ROI của các bạn sẽ là 3x − 10 đồng, hoặc f(x) = 3x − 10, vô ê f là hàm số, và x là số lượng tuy nhiên hàm số này sẽ tiến hành dùng để làm tính toán".)

Đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

Một đa thức là 1 biểu thức bao gồm tổng của một vài hữu hạn những đơn thức không giống ko, từng đơn thức bao hàm tích của một hằng số và một vài hữu hạn những trở thành số với số nón là số vẹn toàn. Ví dụ, x² + 2x − 3 là 1 nhiều thức của trở thành số x. Một biểu thức nhiều thức là một biểu thức rất có thể được viết lách lại như 1 nhiều thức, bằng phương pháp dùng những quy tắc phó hoán, phối hợp và phân phối quy tắc nằm trong và quy tắc nhân. Ví dụ, (x − 1)(x + 3) là 1 biểu thức nhiều thức, nếu như trình bày mang đến trúng thì nó ko cần là nhiều thức. Một hàm nhiều thức là 1 hàm được khái niệm vị một nhiều thức hoặc một biểu thức nhiều thức.. Hai ví dụ bên trên khái niệm và một hàm nhiều thức..

Hai yếu tố cần thiết và đem tương quan vô đại số là những nhân tử của nhiều thức, tức là thể hiện nay một nhiều thức như là 1 tích của những nhiều thức không giống tuy nhiên ko thể hạn chế bậc không dừng lại ở đó, và việc đo lường và tính toán những ước cộng đồng lớn số 1 của nhiều thức. Ví dụ nhiều thức bên trên rất có thể được viết lách trở thành nhân tử như (x − 1)(x + 3). Một group những câu hỏi đem tương quan là lần nghiệm số của một nhiều thức một trở thành số vị căn thức.

Giáo dục[sửa | sửa mã nguồn]

Môn đại số sơ cung cấp được khêu ý là rất cần phải được dạy dỗ mang đến học viên ở giới hạn tuổi chục một,^[26] tuy nhiên trong mỗi năm thời gian gần đây môn này chính thức được dạy dỗ ở cung cấp lớp tám (≈ 13 tuổi) ở Mỹ.^[27]

Tại VN, môn đại số được dạy dỗ như 1 phân môn của môn Toán vô tía lớp 7, 8, 9 (12, 13, 14 tuổi), và đầu tiên cùng theo với môn Hình học tập được dạy dỗ như 1 môn song lập (Đại số & Hình học) từ thời điểm năm lớp 10 (15 tuổi).

Đại số trừu tượng[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số trừu tượng không ngừng mở rộng những định nghĩa thân thuộc vô đại số sơ cung cấp và số học tập với những số lượng cho tới những định nghĩa tổng quát lác rộng lớn. Dưới đó là liệt kê những định nghĩa cơ bạn dạng vô đại số trừu tượng.

Tập hợp: Thay vì thế chỉ kiểm tra những loại số không giống nhau, đại số trừu tượng thao tác với những định nghĩa tổng quát lác rộng lớn - luyện hợp: hàng loạt của toàn bộ những đối tượng người sử dụng (gọi là phần tử) được lựa lựa chọn theo dõi một Điểm sáng này ê. Tất cả những group những loại số thân thuộc đều là những giao hội. Ví dụ không giống về giao hội bao hàm giao hội của toàn bộ ma mãnh trận hai-nhân-hai, giao hội toàn bộ những nhiều thức bậc nhị (ax² + bx + c), giao hội của toàn bộ những vectơ hai phía vô một phía bằng phẳng, và một loạt group hữu hạn tựa như các group cyclic, này là group những số vẹn toàn đồng dư modulo n. Lý thuyết giao hội là 1 nhánh của logic và về mặt mày lý thuyết ko cần là 1 nhánh của đại số.

Phép toán nhị ngôi: Dấu của quy tắc nằm trong (+) được trừu tượng hóa nhằm người sử dụng cho quy tắc toán nhị ngôi, ví dụ điển hình quy tắc ∗. Các định nghĩa về quy tắc toán nhị ngôi là bất nghĩa nếu như giao hội tuy nhiên bên trên ê những quy tắc toán bên trên được khái niệm. Đối với nhị thành phần a và b vô một luyện S, a ∗ b cũng là 1 thành phần cúa S; ĐK này được gọi là tính đóng góp của giao hội so với quy tắc toán. Phép nằm trong (+), quy tắc trừ (−), quy tắc nhân (×, ·), và quy tắc phân tách (÷, /, :) rất có thể là quy tắc toán nhị ngôi Khi xác lập bên trên những giao hội không giống nhau, giống như quy tắc nằm trong và quy tắc nhân những ma mãnh trận, vectơ và nhiều thức.

Phần tử đơn vị: Những số lượng 0 và 1 được trừu tượng hóa muốn tạo đi ra định nghĩa về một phần tử đơn vị cho 1 quy tắc toán. 0 là thành phần đơn vị chức năng được cho phép nằm trong và một là thành phần đơn vị chức năng được cho phép nhân. Đối với cùng 1 quy tắc toán nhị ngôi ∗ thành phần đơn vị chức năng e cần vừa lòng a ∗ e = a và e ∗ a = a, và nếu như nó tồn bên trên thì nó cần là có một không hai. Vấn đề này trúng với quy tắc nằm trong vì thế a + 0 = a và 0 + a = a và quy tắc nhân Khi a × 1 = a và 1 × a = a. Không cần toàn bộ những giao hội và quy tắc toán nhị ngôi đều phải có thành phần đơn vị; Ví dụ, giao hội số đương nhiên (1, 2, 3,...) không tồn tại thành phần đơn vị chức năng được cho phép nằm trong.

Phần tử nghịch tặc đảo: Các số âm đã lấy đi ra định nghĩa những thành phần nghịch tặc hòn đảo. Đối với quy tắc nằm trong, thành phần nghịch tặc hòn đảo của a được viết lách là -a, và được cho phép nhân thành phần này được viết lách là a⁻¹. Một nguyên tố hòn đảo ngược tổng quát lác a⁻¹ vừa lòng nằm trong tính: a * a⁻¹ = e và a⁻¹ * a = e, vô ê e là thành phần đơn vị chức năng.

Tính kết hợp: Phép với những số vẹn toàn mang trong mình 1 tính chất được gọi là phối hợp. Nghĩa là, việc group những số được thêm vô ko tác động cho tới tổng. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Nói cộng đồng, điều này phát triển thành (a * b) * c = a * (b * c). Thuộc tính này là trúng với đa số những quy tắc toán nhị phân, trừ quy tắc trừ hoặc quy tắc phân tách hoặc quy tắc nhân octonon.

Tính phó hoán: Phép nằm trong và quy tắc nhân của số thực đều là phó hoán. Vấn đề này tức là trật tự của những số ko tác động cho tới thành phẩm. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2. Nói cộng đồng, điều này tiếp tục phát triển thành a * b = b * a. Thuộc tính này sẽ không trúng mang đến toàn bộ những quy tắc toán nhị phân. Ví dụ, quy tắc nhân ma mãnh trận và quy tắc phân tách bậc tứ đều ko phó hoán.

Nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Kết thích hợp những định nghĩa bên trên cho 1 trong mỗi cấu tạo cần thiết nhất vô toán học: group. Một group là việc phối hợp của một giao hội S và một quy tắc toán nhị phân có một không hai, được xác lập theo dõi ngẫu nhiên cơ hội này các bạn lựa chọn, với những tính chất sau:

Xem thêm: trong hat nhan nguyen tu 210 84 po co

• Một thành phần đơn vị chức năng e tồn bên trên, sao cho từng member a nằm trong S, e ∗ a và a ∗ e đều vị a.
• Mỗi thành phần đều phải có thành phần nghịch tặc đảo: so với từng member a nằm trong S, tồn bên trên một member a⁻¹ sao mang đến a ∗ a⁻¹ và a⁻¹ ∗ a đều vị thành phần đơn vị chức năng e.
• Phép toán mang tính chất kết hợp: nếu như a, b và c là những member của S, thì (a ∗ b) ∗ c vị a ∗ (b ∗ c).

Nếu một group cũng đều có tính phó hoán - tức là, với ngẫu nhiên nhị member a và b của S, a * b vị b * a - thì group được gọi là group phó hoán hoặc group Abel.

Vành và trường[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ thể chính[sửa | sửa mã nguồn]

Dưới đó là một vài chủ thể chủ yếu của đại số:

• Các không thay đổi đại số
• Các nhiều thức
• Các đại số có tên người
• Các đẳng thức đại số
• Các lối cong đại số
• Các lối cong elíp
• Các nhân thức
• Các group sóng
• Các quy tắc thay đổi đại số
• Các phương trình đại số
• Các đặc điểm đại số
• Các tổng đại số
• Cyclotomy
• Dạng bình phương
• Đại số đồng điều
• Đại số ko phó hoán
• Đại số phổ dụng
• Đại số tuyến tính
• Đại số tổng quát
• Đại số véc-tơ
• Đại số vô hướng
• Hình học tập đại số
• Lý thuyết giá bán trị
• Lý thuyết mã hoá
• Lý thuyết nhóm
• Lý thuyết nửa nhóm
• Lý thuyết số
• Lý thuyết ngôi trường đại số
• Lý thuyết vành

Phương trình đại số[sửa | sửa mã nguồn]

• Phương trình tuyến tính
• Phương trình bậc hai
• Phương trình bậc ba
• Phương trình lũy thừa
• Phương trình đạo hàm

Linh tinh[sửa | sửa mã nguồn]

Từ đại số còn được dùng cho những cấu tạo đại số khác:

• Đại số bên trên ngôi trường (K-algebra)
• Đại số bên trên luyện hợp
• Đại số Bool
• Đại số sigma (σ-algebra)

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Hệ thống đại số máy tính
• Diophantus, "cha đẻ của đại số"
• Mohammed al-Khwarizmi, được nghe biết như thể "cha đẻ của đại số". [1]

Sách tham ô khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7
• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index. In MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Elements of Algebra Lưu trữ 2011-04-13 bên trên Wayback Machine, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Tiếng Anh[sửa | sửa mã nguồn]

• Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
• Khan Academy: Origins of Algebra, miễn phí online micro lectures Lưu trữ 2013-05-09 bên trên Wayback Machine
• Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
• 4000 Years of Algebra Lưu trữ 2007-10-04 bên trên Wayback Machine, lecture by Robin Wilson, at Gresham College, ngày 17 mon 10 trong năm 2007 (available for MP3 and MP4 tải về, as well as a text file).
• Pratt, Vaughan. “Algebra”. Trong Zalta, Edward N. (biên tập). Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Đại số.