Bài giảng này thầy chia sẻ với chúng ta cách tính đạo hàm của hàm số mũ. Tuy nhiên trong ví dụ tiếp sau đây không chỉ vận dụng mỗi đạo hàm của hàm số mũ mà họ còn cần áp dụng tới đạo hàm của hàm số lũy thừa, đạo hàm của hàm phân thức, hàm con số giác…
Công thức tính đạo hàm của hàm số mũ
1. $(a^x)’=a^x.lna$ 2. $(a^u)’=u’.a^u.lna$3. $(e^x)’=e^x$ 4. $(e^u)’=u’.e^u$5. $(x^ alpha)’=alpha .x^alpha-1$ 6. $(u^alpha)’= alpha .u’.u^alpha -1$
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của những hàm số nón sau:
a. $y=(x^2+1).2^2x$ b. $y=e^sqrtx.sin^2x$c. $y=dfrace^2x-e^-2xx$ d. $y=3.(x^2+x+2).e^3x$e. $y=2^1-2x$ f. $y=e^2x+x^2$
Hướng dẫn:
a. $y=(x^2+1).e^2x$
Là một hàm số tất cả dạng tích của một hàm đa thức với cùng một hàm số mũ. Vị vậy quanh đó việc vận dụng công thức đạo hàm của hàm số nón thì chúng ta cần thực hiện đạo hàm của một tích và đạo hàm của hàm số lũy thừa.
Bạn đang xem: Đạo hàm của x mũ x
Ta có: $y=(x^2+1).2^2x$
=> $y’=(x^2+1)’.2^2x+(x^2+1).(2^2x)’$ (áp dụng đạo hàm $a^u$ )
=>$y’=2x. 2^2x + (x^2+1) .(2x)’. 2^2x.ln2$
=> $y’= 2x. 2^2x + (x^2+1) .2. 2^2x.ln2 $
b. $y=e^sqrtx.sin^2x$
Là một hàm số có dạng tích, bao gồm chứa hàm số mũ, hàm số lượng giác. Bởi vì vậy với hàm số này thì các bạn cũng phải áp dụng nhiều cách làm đạo hàm.
Nếu các bạn có nhu cầu hiểu thêm cùng thành thạo công thức đạo lượng chất giác thì có thể xem bài xích giảng: Cách tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Ta có:
$y=e^sqrtx.sin^2x= e^sqrtx.(sinx)^2 $
=> $y’=( e^sqrtx )’. (sinx)^2 + e^sqrtx .<(sinx)^2>’$ (áp dụng đạo hàm $e^u$ cùng $u^alpha$)
=> $y’=(sqrtx )’. E^sqrtx . (sinx)^2 + e^sqrtx.2.(sinx)’.sinx$
=> $y’=dfrac12sqrtx. E^sqrtx . Sin^2x + 2.e^sqrtx.cosx.sinx $
c. $y=dfrace^2x-e^-2xx$
Đây là hàm số tất cả dạng là 1 trong những hàm phân thức với tử bao gồm chứa hàm số mũ. Do vậy chúng ta cần áp dụng đạo hàm của hàm phân thức cùng với công thức:
$dfracuv=dfracu’.v-u.v’v^2$
Ta có:
$y=dfrace^2x-e^-2xx$
=> $y’=dfrac(e^2x-e^-2x )’.x- (e^2x-e^-2x).x’x^2$
=> $y’=dfrac<(e^2x)’-(e^-2x)’>.x- (e^2x-e^-2x) .1x^2$
=> $y’=dfrac<2.e^2x-(-2).e^-2x>.x- e^2x+e^-2x x^2$
=> $y’=dfrac<2.e^2x+.e^-2x>.x- e^2x+e^-2x x^2$
d. $y=3.(x^2+x+2).e^3x$
Với hàm số này ta thấy tất cả tích của số 3 với đa thức $x^2+x+2$ với $e^3x$. Do 3 là hằng số nên khi tính đạo hàm của hàm số dạng này ta giữ nguyên hệ số 3.
Ta có:
$y=3.(x^2+x+2).e^3x$
=> $y’=3.< (x^2+x+2)’.e^3x+ (x^2+x+2).(e^3x)’>$
=> $y’= 3.<(2x+1).e^3x+ (x^2+x+2).(3x)’.e^3x>$
=> $y’= 3.<(2x+1).e^3x+ (x^2+x+2).3.e^3x>$
=> $y’= 3.
Xem thêm: Toeic Viết Tắt Của Từ Gì ? Giá Trị Bằng Của Toeic Chứng Chỉ Tiếng Anh Toeic Là Gì
<2x. .e^3x +e^3x+ 3x^2.e^3x +3x.e^3x +6e^3x>$
=> $y’= 3.<5x. E^3x +7.e^3x+ 3x^2.e^3x>$
e. $y=2^1-2x$ (áp dụng đạo hàm của hàm $a^u$)
Ta có:
$y=2^1-2x$
=> $y’=(1-3x)’. 2^1-2x .ln2$
=> $y=-3. 2^1-2x .ln2 $
f. $y=e^2x+x^2$ (áp dụng đạo hàm của hàm $e^u$)
=> $y’=(2x+x^2)’.e^2x+x^2$
=> $y’=(2+2x).e^2x+x^2$
Một lấy ví dụ cơ phiên bản về phương pháp tính đạo hàm của hàm số mũ dẫu vậy sẽ giúp các bạn rất nhiều trong việc hiểu cách làm và cách áp dụng. Hình như bài giảng này giúp chúng ta ôn tập lại cách tính đạo hàm của một trong những hàm thường gặp gỡ như: đạo hàm của một tích, một thương, đạo hàm của các chất giác, hàm căn thức…