Kỳ trước bọn họ đã sử dụng hiệu quả của vấn đề xếp hình để chứng tỏ các hằng đẳng thức đến dãy số Fibonacci. Từ bây giờ chúng ta liên tục đề tài này. Chúng ta sẽ chứng tỏ các hằng đẳng thức sau $$2011 choose 0 + 2010 choose 1 + 2009 choose 2+ 2008 choose 3+ dots + 1007 choose 1004+ 1006 choose 1005 = F_2012,$$ $$2012 choose 0 + 2011 choose 1 + 2010 choose 2+ 2009 choose 3+ dots + 1007 choose 1005+ 1006 choose 1006 = F_2013.$$Một phương pháp tổng quát, bọn họ có hằng đẳng thức $$sum_v+u=nv choose u = F_n+1.$$Thông qua hằng đẳng thức này bọn họ thấy một mối liên hệ thú vị giữa hàng số Fibonnaci với tam giác số Pascal.Trước không còn xin kể lại, hàng số Fibonacci là hàng số khẳng định theo quy qui định sau: $$F_0=0, F_1=1, F_n+1=F_n+F_n−1,$$ và do vậy họ có $$F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, F_7=13, F_8=21, dots$$Xin reviews với chúng ta ký hiệu $n!$, gọi là $n$ giai thừa, cách làm của nó là như sau $$n! = 1 imes 2 imes 3 imes dots imes n.$$
Tiếp theo, chúng ta có cam kết hiệu $n choose k$. Phương pháp của nó là $$n choose k = fracn!k! (n-k)!.$$
Ví dụ, các chúng ta cũng có thể kiểm tra rằng $$4 choose 0 = frac4!0! 4! = 1, ~~4 choose 1 = frac4!1! 3! = 4, ~~4 choose 2 = frac4!2! 2! = 6, ~~4 choose 3 = frac4!3! 1! = 4, ~~4 choose 4 = frac4!4! 0! = 1.$$
Ký hiệu $n choose k$ hiểu là "$n$ lựa chọn $k$", tại sao là vị $n choose k$ chính là số phương pháp chọn $k$ dụng cụ (không nhắc tính sản phẩm công nghệ tự) trong số $n$ đồ dùng vật. Ví dụ, nếu chúng ta có $4$ con cá cùng muốnchọn ra $2$ nhỏ cáthì sẽ sở hữu được đúng $4 choose 2 = 6$ cách chọn.

Bạn đang xem: Dãy fibonacci trong pascal

*
có đúng $4 choose 2 = 6$ cách lựa chọn ra $2$ nhỏ cá từ $4$ nhỏ cá
Lưu ý rằng các sách viết sinh sống Việt Nam hay được dùng ký hiệu $C^k_n$ thay vì là $n choose k$.
Các số $n choose k$ đó là các thông số trong khai triển nhị thức Newton. Chúng tạo cho tam giác số khét tiếng - tam giác số Pascal.
*

Nếu họ đánh số máy tự đến hình tam giác Pascal như hình sau đây. Khởi đầu bằng mặt hàng số 0, sản phẩm số 1, hàng số 2, v.v..., với trên từng hàng, bọn họ có số thứ 0, số vật dụng 1, số sản phẩm 2, v.v... Vậy thì số vật dụng $k$ nằm trên hàng trang bị $n$ chính là bằng $n choose k$.
*

Ví dụ, họ thấy trên hàng máy $4$, bọn họ có số $1$, $4$, $6$, $4$, $1$, đó chính là $4 choose 0$, $4 choose 1$, $4 choose 2$, $4 choose 3$, $4 choose 4$.
Hằng đẳng thức mà bọn họ học ngày hôm nay đó là $$F_n+1 =sum_v+u=nv choose u.$$Lấy một vài ví dụ lúc $n=0,1,2,dots,6$ chúng ta có $$F_1 = 0 choose 0, ~~F_2 = 1 choose 0, ~~F_3 = 2 choose 0 + 1 choose 1, ~~F_4 = 3 choose 0 + 2 choose 1,$$ $$F_5 = 4 choose 0 + 3 choose 1 + 2 choose 2, ~~F_6 = 5 choose 0 + 4 choose 1 + 3 choose 2,$$ $$F_7 = 6 choose 0 + 5 choose 1 + 4 choose 2 + 3 choose 3$$ các đẳng thức này mang đến ta thấy một mối tương tác thú vị giữa tam giác số Pascal với dãy số Fibonacci. Hình vẽ dưới đây minh hoạ điều đó. Nếu họ cọng các số vào tam giác Pascal theo đường chéo như trong hình vẽ thì chúng ta sẽ gồm tổng là các số Fibonacci.
*
Tổng theo con đường chéo: $F_7 = 6 choose 0 + 5 choose 1 + 4 choose 2 + 3 choose 3=13$
Chứng minh hằng đẳng thức.
Chúng ta đang dùng câu hỏi xếp hình để chứng minh hằng đẳng thức. Xin kể lại, dãy số Fibonaccicó một ý nghĩa sâu sắc tổ hợp phụ thuộc bài toán xếp hình sau đây
*

Bài toán xếp hình:Cho phép sử dụng hai nhiều loại gạch có kích cỡ $1 imes 1$ và $1 imes 2$, bao gồm bao nhiêu cách khác biệt để cần sử dụng hai nhiều loại gạch này xếp thành một hình chữ nhật có size $1 imes n$?
*
$X_1=1$, $X_2 = 2$, $X_3=3$, $X_4=5$.

Gọi $X_n$ là số bí quyết xếp hình chữ nhật có kích cỡ $1 imes n$ bằng phương pháp dùng hai các loại gạch có kích thước $1 imes 1$ cùng $1 imes 2$. Chúng ta thấy rằng muốn tạo thành một hình chữ nhật $1 imes n$, đầu tiên bọn họ phải quyết định xem chúng ta sẽ tạo thành cái ô vuông đầu tiên bằng cách nào. Tất cả hai cách. Bạn cũng có thể dùng các loại gạch $1 imes 1$ để tạo thành cái ô vuông đầu tiên, hoặc, chúng ta cũng có thể dùng một số loại gạch $1 imes 2$.
*

Nếu bọn họ dùng một số loại gạch $1 imes 1$ đểtạo racái ô vuông thứ nhất thì họ còn lại $n-1$ ô vuông. Tất cả bao nhiêu cáchđểtạora $n-1$ chiếc ô vuông tiếp theo? Đó đó là $X_n-1$ cách.
Còn nếu bọn họ dùng nhiều loại gạch $1 imes 2$ đểtạo rahai mẫu ô vuông đầu tiên thì chúng ta cònlại$n-2$ ô vuông. Gồm bao nhiêu giải pháp đểtạora$n-2$ ô vuông? Đó chính là $X_n-2$ cách.
Như vậy, tổng cọng họ sẽ bao gồm $X_n-1 + X_n-2$ cách tạo nên hình chữ nhật $1 imes n$. Do vậy họ cócông thức $$X_n = X_n-1 + X_n-2.$$
Tức là $$X_1 = 1, ~~X_2 = 2, ~~X_3 = 3, ~~X_4 = 5, ~~X_5 = 8, dots$$Từ đó suy ra$$X_n = F_n+1.$$Vậy muốn chứng tỏ hằng đẳng thức, chúng ta cần yêu cầu chứng minh$$X_n = sum_v+u=nv choose u.$$
Chúng ta xem xét rằng nếu họ xây dựng một hình chữ nhật $1 imes n$ bằng phương pháp sử dụng $v$ viên gạch, trong các số đó $u$ viên gạch có dạng $1 imes 2$ cùng $(v-u)$ viên gạch có dạng $1 imes 1$, thì bằng cách cọng tổng độ dài các viên gạch men lại chúng ta có $$n = 2 imes u + 1 imes (v-u).$$
Bây giờ chúng ta nhìn hình mẫu vẽ sau. Họ có $v$ vị trí mang đến $v$ viên gạch. Vào $v$ địa điểm này bọn họ phải lựa chọn ra $u$ địa chỉ mà bọn họ sẽ cần sử dụng viên gạch ốp $1 imes 2$. (Còn $(v-u)$ vị trí còn sót lại sẽ là loại gạch $1 imes 1$.) có nghĩa là trong $v$ "con cá", họ phải chọn ra $u$ "con cá". Gồm bao nhiêu giải pháp chọn? chính là $v choose u$ phương pháp chọn.

Xem thêm: Kể Tên Các Vị Anh Hùng Chống Giặc Ngoại Xâm Mà Em Biết (34 Mẫu)


Vì vậy nên tổng số các cách tạo ra hình chữ nhật $1 imes n$ sẽ là $$sum_v+u=nv choose u.$$Và cuối cùng họ sẽ bao gồm hằng đẳng thức$$X_n = sum_v+u=nv choose u.$$
Vậy bọn họ đã trình bày xong xuôi một cách chứng tỏ hằng đẳng thức sau bằng cách thức tổ hợp$$F_n+1 = sum_v+u=nv choose u.$$Ví dụ với $n=2011$ và $n=2012$ chúng ta có hằng đẳng thức thú vui sau đây$$2011 choose 0 + 2010 choose 1 + 2009 choose 2+ 2008 choose 3+ dots + 1007 choose 1004+ 1006 choose 1005 = F_2012,$$ $$2012 choose 0 + 2011 choose 1 + 2010 choose 2+ 2009 choose 3+ dots + 1007 choose 1005+ 1006 choose 1006 = F_2013.$$
Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau, bọn họ sẽ học thêm về hàng số. Các bạn còn nhớ phương pháp cho dãy số Fibonacci không? Đó là $$F_n = frac1sqrt5 left< left( frac1 + sqrt52 ight)^n - left( frac1 - sqrt52 ight)^n ight>$$Nếu các bạn tò mò ước ao biết bởi vì sao bạn cũng có thể tìm ra được cách làm kỳ lạ này, thì các bạn hãy đón đọc các kỳ sau. Họ sẽ học cách tìm công thức cho một hàng số tổng quát. Xin hẹn gặp lại những bạn.
Sử dụng tính chất của tam giác Pascal nhằm tìm cách minh chứng khác mang đến hằng đẳng thức$$F_n+1 = sum_v+u=nv choose u.$$
Labels:bài toán xếp hình,dãy số,đại số,Fibonacci,giai thừa,hằng đẳng thức,nhị thức Newton,quy nạp,rời rạc,sai phân,tam giác Pascal
Bài đăng new hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ

Ủng hộ sân vườn Toán trên facebook


Lưu trữ Blog


►  2017(1) ►  2016(7) ►  2015(12) ►  2014(12) ▼  2013(26) ▼  tháng hai(3) ►  2012(36) ►  2011(7)

Bài toán liên kết facebook

Phép nhân thời đồ dùng đá

Mắt Biếc hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci cùng một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ lạ của Vianney!

Câu iq về đo lường

Công thức lượng giác Gauss đến 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4d là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác mọi 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... Có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim từ bỏ tháp


Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9


Tam giác Pascal

Quy nạpQuy nạp IIQuy hấp thụ IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suyTổng luỹ thừa


Số phức


Số phức

bí quyết Moivre


Lượng giác


Công thức lượng giác mang đến góc bội

Công thức lượng giác Gauss đến 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?


modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài câu hỏi về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo mang lại số hữu tỷ

Modulo đến số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa cùng định lý Wolstenholme

Câu iq về đo lường

Dựng nhiều giác các 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số vi diệu của Euler


Bài toán liên kết facebook

Dãy số Fibonacci với một việc xếp hìnhHằng đẳng thức về dãy số FibonacciDãy số Fibonacci và tam giác Pascal


Định lý Pitago

Định lý con đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và trung ương đẳng phươngĐịnh lý Ceva với Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán con bướmĐịnh lý ngôi sao sáng Do TháiHãy cẩn thận trường hợp quánh biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất với một đặc thù của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II


Dựng hình bởi thước với compa

Bài toán phân chia hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình đa giác đềuDựng đa giác phần đa 15 cạnhĐịnh lý con đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss đến 17-giác đều Dựng hình chỉ bởi compa cần sử dụng compa chia phần lớn đoạn thẳng