Tính diện tích hình phẳng là 1 trong ứng dụng quan trọng đặc biệt của tích phân trong chương trình toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? các dạng bài xích tập tìm diện tích s hình phẳng? giải pháp tìm diện tích hình phẳng như nào? Trong bài viết dưới phía trên khansar.net sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ thể này nhé!


Mục lục

2 bí quyết tính diện tích s hình phẳng cơ bản3 phương pháp tính diện tích s hình phẳng nâng cao3.2 diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong đời sống thực tiễn cũng như khoa học tập kĩ thuật thì họ cần cần tính diện tích của các hình phẳng phức hợp mà những công thức thường thì không thể đo lường và thống kê được. Ví dụ: diện tích của mặt hồ tự nhiên, thiết diện cắt theo đường ngang của một cái sông… vì thế ta cần vận dụng tích phân để có thể tính được diện tích của rất nhiều hình phức hợp đó.

Bạn đang xem: Bài 3: ứng dụng của tích phân trong hình học


Công thức tính diện tích s hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số và các trục tọa độ

Nếu hàm số (y=f(x)) liên tục trên đoạn () thì diện tích (S) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a , x=b ) là :

(S=int_a^b |f(x)|dx)

Ví dụ:

Tính diện tích ( S ) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( y=x^3 -x ) , đường thẳng ( x=2 ), trục tung cùng trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung có phương trình tọa độ là ( x=0 ) nên áp dụng công thức nêu bên trên ta gồm :

(S=int_0^2 |x^3-x|dx)

Vì (left{eginmatrix x^3-x leq 0 hspace5mm forall hspace5mm 0 leq x leq 1\ x^3-x geq 0 hspace5mm forall hspace5mm 1 leq x leq 2 endmatrix ight.)

Nên ta gồm :

(S = int_0^1(x-x^3)dx + int_1^2 (x^3-x)dx)

(S = (fracx^22-fracx^44) igg|_0^1 + (fracx^44-fracx^22) igg|_1^2)

(S = frac14 + frac94 =frac52) (đvdt)

Công thức tổng thể tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị 

Công thức tìm diện tích s hình phẳng giới hạn bởi ( y=f(x) ) , ( y=g(x) ) thường xuyên trên ( ) và hai tuyến phố thẳng ( x=a ) , ( x=b ) :

(S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx)

Ví dụ:

Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi thứ thị nhì hàm số ( y= x^2+2 ) với ( y = 3x )

Cách giải:

Đầu tiên, ta đã hoành độ giao điểm của nhị hàm số trên bằng cách giải phương trình :

( x^2 +2 =3x )

(Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x=1\ x=2 endmatrix ight.)

Vậy hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi đồ vật thị của nhì hàm số ( y= x^2+2 ) , ( y = 3x ) và hai tuyến phố thẳng ( x=1 ) , ( x=2 )

Áp dụng cách làm trên ta có:

(S= int_1^2 | x^2-3x+2|dx)

(=int_1^2(3x-x^2-2)dx)

(=(frac3x^22 -fracx^33 -2x) igg|_1^2=frac16) (đvdt)

Công thức tính diện tích s hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán để ra: Tính diện tích s hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ gia dụng thị bố hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))

*

Các bước làm như sau:

Bước 2: diện tích s hình phẳng (S) sẽ được tính theo phương pháp :

(S = int_x_1^x_2|u(x)|dx + int_x_2^x_3 |v(x)| dx)

Với (u(x)) là hàm số của phương trình kiếm tìm ( x_1 )

( v(x) ) là hàm số của phương trình tra cứu ( x_2 ) 

 Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng S được giới hạn bởi ba hàm số : ( y= 3^x ) , ( y= 4-x ) , ( y=1 )

Cách giải:

Ta tra cứu hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :

(left{eginmatrix 3^x = 4-x Rightarrow x=1\ 3^x =1 Rightarrow x=0 \ 4-x = 1 Rightarrow x=3 endmatrix ight.)

Vậy vận dụng công thức trên ta gồm :

(S= int_0^1|3^x -1 |dx + int_1^3 |4-x-1|dx)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3 =frac2ln 3+1) (đvdt)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị số lượng giới hạn bởi parabol và đường thẳng

Cho Parabol ( y = ax^2 + bx +c ) với ( b^2-4ac >0 ). Lúc đó diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi thiết bị thị của Parabol cùng với trục hoành được xem như sau :

(S=int_x_1^x_2(ax^2+bx+c)dx)

Với ( x_1;x_2 ) là nhì nghiệm của Parabol

Bằng cách thay đổi đơn giản thực hiện định lí Vi-ét, từ công thức trên ta sẽ sở hữu :

(S^2=frac(b^2-4ac)^336a^4) giỏi (S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2)

Công thức này hay được áp dụng trong các bài toán trắc nghiệm yêu cầu tính toán nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hản bởi Parabol ( y=x^2-5x +6 ) cùng trục hoành

Cách giải:

Áp dụng công thức trên với ( a=1 : b= -5 ; c=6 ) ta có:

(S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2 = frac16) (đvdt)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này , ta buộc phải vẽ hình sơ cỗ để nhấn diện được hình phẳng yêu cầu tính diện tích s rồi tiếp đến sử dụng các công thức cơ bản nêu bên trên để tính toán thích hợp.

Chú ý: cùng với dạng bài xích này khi nên tính tích phân bọn họ sẽ đề xuất sử dụng phương pháp đổi biến hóa số để tính được tích phân đề xuất tìm. 

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và mặt đường tròn (x^2 + y^2 =8)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và mặt đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :

(left{eginmatrix y=sqrt2x\ x^2+y^2=8 endmatrix ight.) cùng với ( x geq 0 )

(Rightarrow x^2+2x-8=0 Rightarrow (x-2)(x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2 \ x=-4 endarray ight.)

Vì ( x geq 0 ) buộc phải ( x=2 )

Hoành độ giao điểm của con đường tròn với trục hoành là vấn đề (x= 2sqrt2) cùng (x= -2sqrt2)

Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia làm hai phần gồm:

( S_1 ) là phần tô màu sắc vàng

( S_2 ) là phần tô color đỏ

( S= S_1 + S_2 )

*

( S_1 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và hai đường thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy

(S_1 = 2int_0^2sqrt2x hspace2mm dx = 2. frac2sqrt23 xsqrtx igg |_0^2 =frac83)

( S_2 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai tuyến đường thẳng (x=2 ; x=2sqrt2). Vậy

(S_2= 2 int_2^2sqrt2 sqrtx^2-8 hspace2mm dx)

Đặt (x= 2sqrt2sin t) với (0 leq t leq fracpi2)

(Rightarrow dx = 2sqrt2 cos t hspace2mmdt)

(Rightarrow S_2 =2 int_fracpi4^fracpi22sqrt2.sqrt8-8 sin ^2 t. cos t hspace2mm dt)

(=16int_fracpi4^fracpi2cos^2t hspace2mm dt)

(=8int_fracpi4^fracpi2 (1+ cos 2t)dt)

(=8(t+fracsin 2t2) igg |_fracpi4^fracpi2 =2pi -4)

Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac43) (đvdt)

Chú ý: Qua các ví dụ bên trên ta nhận ra công thức tính diện tích tổng quát mắng (S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx) được áp dụng ở đa số các bài xích toán. Bởi vì vậy đây là một công thức cơ bản quan trọng mà họ cần ghi nhớ.

Bài viết trên đây của khansar.net đã giúp bạn tổng hợp kim chỉ nan về những công thức diện tích hình phẳng bởi tích phân cũng như một số dạng bài xích tập tính diện tích s hình phẳng.

Xem thêm: Các Biện Pháp Tu Từ ? Tác Dụng Của Biện Pháp Tu Từ

Hi vọng những kỹ năng và kiến thức trong bài viết sẽ mang lại lợi ích cho các bạn trong quy trình học tập. Chúc bạn luôn luôn học tốt!