đông đảo đường chưa hẳn là con đường thẳng thường được điện thoại tư vấn là mặt đường cong, và "Stoikeia" của Euclid, một tác phẩm kinh điển của toán học, cũng có thể có quan điểm này. Mặc dù nhiên, trong toán học hiện đại, con đường cong đồng nghĩa với con đường thẳng, và mặt đường thẳng cũng được bao hàm trong chúng. Euclid tuyên bố rằng "một đoạn thẳng là một trong chiều dài không tồn tại chiều rộng với điểm cuối của nó là 1 trong điểm", giới thiệu lời giải thích cơ phiên bản về một đường, nghĩa là 1 trong đường cong. Tuy thế đây không phải là 1 trong những định nghĩa hoàn chỉnh. Tự Euclid cho tới nửa sau của cố kỉnh kỷ 19, mặt đường cong được sử dụng như một khái niệm bình bình mà không được chỉ dẫn định nghĩa, nhưng thời buổi này chúng được khái niệm bằng biểu diễn phân tích.
Bạn đang xem: Đường cong là gì
Đầu tiên, họ hãy diễn đạt một con đường cong khía cạnh phẳng, có nghĩa là một con đường cong bên trên một mặt phẳng. Đây được coi là hình được tạo nên thành lúc một điểm chuyển động trên phương diện phẳng. Do đó, ra mắt tọa độ trực giao xung quanh phẳng, nếu địa chỉ của điểm tại thời điểm t (x, y) và x, y được trình diễn bởi t của hàm f (t), g (t ). Hơn nữa, ví như xét các điểm bao gồm tọa độ là ( f ( t ), g ( t )) với mọi t vào một đoạn tốt nhất định, toàn bộ chúng hồ hết là các đường cong ban đầu. Vì vì sao này, một mặt đường cong phẳng là khi f cùng g được khẳng định là một hàm được khẳng định trong một khoảng tầm và những điểm ( f ( t ), g ( t )) được xem là với đông đảo t thuộc khoảng tầm đó. Hoàn toàn có thể nói, đó là một trong con số có tác dụng được. Đường cong này được màn trình diễn bởi x = f ( t ) cùng y = g ( t ), với đây được call là biểu diễn tham số vì chưng tham số t. Ví dụ, một mặt đường thẳng trải qua hai điểm (a, b ), ( c , d ) áp dụng t thuộc tổng thể khoảng (-∞, ∞) làm tham số cùng x = a + ( c - a ) t , y = b +. ( D - b ) Được biểu hiện dưới dạng t (Hình.) 1 ), (A, chu vi nửa đường kính r gồm tâm trên b), là biến chuyển trung gian t thuộc khoảng chừng đóng <0,2π>, x = a + r cos t, y = b + r sin t cùng bảng được ngừng ( nhân vật 2 ). Đồ thị của hàm số y = f ( x ) được hiển thị bên dưới dạng thông số với x = t cùng y = f ( t). Nếu f với g là những hàm liên tục thì đường cong màn trình diễn bởi x = f ( t ) cùng y = g ( t ) được điện thoại tư vấn là đường cong liên tục. Đường cong thường xuyên khi miền của f và g là một trong những khoảng đóng góp < a , b > được gọi là cung xuất xắc đường. Tại thời gian này, ( f ( a ), g ( a )) được gọi là điểm đầu, với ( f ( b ), g ( b )) được gọi là vấn đề cuối. Cả nhì được gọi chung là vấn đề cuối. Một cung có các điểm cuối tương xứng được gọi là 1 đường cong khép bí mật hoặc vòng lặp vòng lặp. Lúc t ≠ t ′ với ( f ( t ), g ( t )), ( f ( t ′), g ( t ′)) màn biểu diễn cùng một điểm, đặc điểm này được gọi là vấn đề trùng nhau. Một cung không có các điểm trùng nhau được gọi là 1 trong những cung đơn giản dễ dàng và một cung không có các điểm trùng nhau ngoài các điểm cuối được gọi là 1 đường cong khép kín đơn giản hoặc một con đường cong Jordan. Một cung đơn giản và dễ dàng cùng pha với một đoạn thẳng và một mặt đường cong khép kín đáo duy nhất cùng pha với chu vi. Một con đường cong khép bí mật duy nhất phân tách máy bay thành nhì vùng, phía bên trong và bên ngoài. Khi hai điểm bất kỳ trong một tập hợp gồm 1 đường cong khép bí mật duy nhất và các điểm phía bên trong nó luôn được nối với nhau bằng một đoạn trực tiếp trong tập hợp đó, thì mặt đường cong đóng đơn ban sơ được điện thoại tư vấn là con đường cong hình thai dục hoặc đường cong đóng góp lồi. Trong những các con đường cong liên tục, có các cung tròn (đường cong Peano) bao phủ đầy bên phía trong một hình vuông và những đường cong đơn khép bí mật không thể tiếp đường với ngẫu nhiên đường cong nào trong các chúng. Uốn nắn cong và biểu hiện tình trạng bệnh án như vậy, tránh mặt đường cong, chẳng hạn như cung bị thoái hóa cho điểm, để đảm bảo an toàn hơn nữa độ suôn sẻ của con đường cong, thông thường, khi mặt đường cong đó, với phần đông tất cả t, f (t ), G ( t ) rất có thể phân biệt với ngẫu nhiên số lần nào, với giả thiết rằng các đạo hàm f ′ ( t ) cùng g ′ ( t ) không trở thành 0 đồng thời. Tích phân mang đến a và b trong quan niệm của f với g,
Đường cong C của tham số x = f (t), bằng phương pháp xóa t khỏi phương trình y = g (t), F (x, y) = 0 chiếm được phương trình tất cả dạng. Phương trình này biểu diễn biểu thức dục tình giữ giữa tọa độ x và tọa độ y của điểm trê tuyến phố cong C , và cũng màn biểu diễn đường cong C. Phương trình này F ( x , y ) = 0 được gọi là phương trình của mặt đường cong C . Ví dụ, phương trình của con đường thẳng trải qua hai điểm (a, b), (c, d) là (d - b) (x - a) - (c - a) (y - b) = 0, và ( a , b). Phương trình chu vi của nửa đường kính r tất cả tâm) là (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 - r 2 = 0. F (x, y) = 0 khi nào là dạng của y = f (x ) tan mang lại y là thiết bị thị của F (x, y) = mặt đường cong màn biểu diễn bởi 0 của hàm y = f (x). Đường cong cũng rất có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng tọa độ rất là G ( r , θ) = 0. Lúc F ( x , y ) là một đa thức đối với x , y , thì đường cong màn trình diễn bởi F ( x , y ) = 0 được gọi là một đại số đường cong, với khi bậc của nhiều thức là n , đây được hotline là mặt đường cong bậc n. Đường cong tuyến tính là 1 đường trực tiếp Đường cong bậc nhị Là một phần hình nón (elip, hyperbol, parabol và hai tuyến phố thẳng giảm nhau). Một con đường cong không hẳn là con đường cong đại số được hotline là mặt đường cong rất việt. Ví dụ, những đường cong hàm nón và đường cong sin mở ra dưới dạng đồ gia dụng thị của y = e x với y = sin x là các đường cong khôn xiết nghiệm.
Đường cong không gianMột mặt đường cong trong không khí được call là con đường cong ko gian. Lúc một điểm trong không gian được màn trình diễn bởi (x , y , z ) sử dụng hệ tọa độ Descartes, thì đường cong không khí có f , g cùng h là một hàm được xác định trong một khoảng, như trong trường hợp đường cong phẳng với x = f ( các tham số được hiển thị bên dưới dạng t), y = g ( t ), z = h ( t). Ví dụ, một biểu vật với một gradient t không đổi trên một mặt trụ bên đề xuất có nửa đường kính a, đứng vuông góc cùng với một mặt phẳng nằm ngang. 3 Phương trình của con đường kiếm như vậy này được hiển thị dưới dạng tham số như x = a cos t , y = a sin t , z = bt ( b = a rã t) nếu như lấy các trục tọa độ vào hình. Đường cong ko gian cũng được biểu diễn bởi một hệ phương trình như F ( x , y , z ) = 0, G ( x , y , z ) = 0, có được bằng phương pháp loại quăng quật tham số khỏi biểu diễn tham số của nó. Điều này tương ứng với một con đường cong không khí nói phổ biến là giao điểm của hai bề mặt cong. Đối với mặt đường cong không gian, các khái niệm như con đường cong kín, độ nhiều năm và con đường cong đại số được tư tưởng theo cách tương tự như so với đường cong phẳng.
Tiến hóa, bất khả xâm phạmĐối với cùng một điểm p. Trên phương diện phẳng cong C , xét một đường tròn đi qua p. Và hai điểm Q, R bên trên C sát nó. Đường tròn số lượng giới hạn khi Q với R của mặt đường tròn này được gửi lại gần p. Dọc C được gọi là đường tròn cong của C tại p. Khi mặt đường cong để vẽ tâm của đường tròn cong với Γ tại từng điểm của C, với Γ được gọi là việc tiến hóa hoặc tiến hóa cấp tốc của C, bất khả xâm phạm hoặc bất khả xâm phạm của C Γ. C bất biến là một trong đường cong được vẽ bởi vì điểm cuối của chỉ khi sợi chỉ quấn quanh Γ được nới lỏng trong lúc được kéo căng (Hình.). Tư ).
các đường cong mặt phẳng khác nhau Tiếp theo, công ty chúng tôi liệt kê những đường cong thứ bay quan trọng đặc biệt nổi giờ đồng hồ trong kế hoạch sử.
Xem thêm: Lập Bảng So Sánh Quốc Gia Cổ Đại Phương Đông Và Phương Tây, So Sánh Xã Hội Phương Đông Và Phương Tây
(1) Đường cong lập phương được trình diễn bởi phương trình y 2 ( a - x ) = x 3 ( a là hằng số dương) được điện thoại tư vấn là mặt đường nước rút hoặc đường cissoid (Hình.). Thời gian ). Xét một mặt đường tròn có đường kính là đoạn trực tiếp nối cội tọa độ O với điểm A ( a , 0), và gọi R là giao điểm của con đường thẳng OQ và con đường thẳng x = a so với điểm cầm tay Q trên chu vi. Nếu đặt điểm p trên đỉnh làm thế nào để cho độ nhiều năm OP cùng QR đều nhau thì p. Vẽ đường cong này. (2) Đường cong tứ phân biểu diễn bởi phương trình (x - a ) 2 ( x 2 + y 2 ) = b 2 x 2 ( a với b là các hằng số dương) được hotline là mặt đường đồng quy hoặc mặt đường xoắn ốc (Hình 6 ). Mang đến điểm Q di động trên đường thẳng x = a , nếu đem đoạn trực tiếp QP có độ dài b về nhì phía của Q trên đoạn trực tiếp OQ thì phường vẽ đường cong này. (3) Đường cong tứ phân được màn trình diễn bởi phương trình (x 2 + y 2 - ax ) 2 = b 2 ( x 2 + y 2 ) ( a và b là những hằng số dương) là con đường Limacon limaçon hoặc đường cực ốc tai. (Nhân trang bị 7 ). Khi rước điểm Q cầm tay trên chu vi có đường kính là đoạn thẳng nối gốc O và A ( a , 0) với đoạn trực tiếp QP tất cả độ lâu năm b được lấy về nhì phía của Q bên trên đoạn trực tiếp OQ thì p là đường cong này. Vẽ tranh. Limason lúc a = b thường được hotline là hình tim hoặc hình trái tim (hình vẽ). Số 8 ). Nói chung, con đường cong được vẽ vày chân của con đường vuông góc vẽ xuất phát điểm từ một điểm cố định và thắt chặt O cho mỗi tiếp tuyến của con đường cong C không thay đổi được điện thoại tư vấn là con đường cong bàn đạp tương quan đến O của C. Khi xét một đường tròn có bán kính b gồm tâm ở A, Limason là 1 trong đường cong bàn đạp so với điểm cội O của đường tròn này (Hình.). 9 ). Ở trên (1), (2) với (3) là các đường cong được sử dụng để giải việc khối lập phương nhân song và bài toán phân chia góc. (4) Đường cong lập phương được màn trình diễn bởi phương trình x 3 + y 3 = 3 axy ( a là hằng số dương) được điện thoại tư vấn là mặt đường lá Descartes của Descartes (Hình.). Mười ). Đoạn thẳng OQ và OR dài hơn, trong số ấy R là giao điểm của con đường thẳng OQ và mặt đường thẳng x + y + a = 0 so với điểm di động Q bên trên elip x 2 - xy + y 2 - ax - ay = 0. Nếu lấy điểm p ở trên làm sao để cho độ dài OP bởi hiệu giữa độ nhiều năm OQ cùng OR thì p vẽ đường cong này. (5) Phương trình (x 2 + y 2) 2 -2 a 2 (x 2 - y 2) = b 4 - a 4 (a, b là hằng số dương) đường cong bậc bốn trình diễn đường cong Cassini Đường cong của Cassini (Hình 11 ). Đây là con đường cong được vẽ vì chưng điểm P sao cho tích của khoảng cách từ nhị điểm A ( a , 0) cùng B ( −a , 0) bởi b 2. Đường cong Cassini khi b = a , nghĩa là con đường cong màn trình diễn bởi ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 a 2 ( x 2 - y 2 ) hay được điện thoại tư vấn là lemniscate hoặc renju. Đây là mặt đường cong bàn đạp so với gốc O của hyperbol góc vuông x 2 - y 2 = 2 a 2 (Hình.) 12 ). (6) lúc một đường cong không giống Γ lăn trên đường cong C không thay đổi mà không trở nên trượt, đường cong được vẽ vì điểm P cố định với Γ được call là cò quay roulette hoặc mặt đường cong xoay, C là mặt đường dưới cùng và Γ là Γ. Đường cong lăn p. được gọi là cực. Một cò quay bao gồm đường lòng thẳng và đường cong chu vi được call là mặt đường xoáy lò xo hoặc đường bé lắc khi các cực nằm trên đường cong lăn, và ngược lại là trochoid trochoid (hình vẽ). 13 ， 14 ). Nếu nửa đường kính của mặt đường tròn là con đường lăn là a và khoảng cách từ trung ương đến rất là b thì trochoid được bộc lộ là x = at - b sin t với y = a - b cos t cùng với góc con quay t là tham số. Sẽ tiến hành thực hiện. Ở đây, trường hợp a = b , công thức biểu lộ một xycloid. Roulette lúc cả đường đáy và mặt đường cong lăn đông đảo là con đường tròn và hai đường tròn này nằm không tính (nội tiếp) được điện thoại tư vấn là vòng tròn ngoại tiếp (vòng xoáy trong) hoặc khôn xiết vòng tròn ngoại vi (hypocycloid) khi cực nằm trên đường cong lăn. Giả dụ không, nó được điện thoại tư vấn là trochoid phía bên ngoài (trochoid mặt trong) hoặc epitrochoid biểu mô (hyprochoid) (hình). 15 ， 16 ). Khi nửa đường kính của đường tròn lòng là a , bán kính của con đường tròn là b , và khoảng cách giữa trọng điểm và rất của đường tròn là c thì góc cù t của con đường cong lăn được sử dụng làm trung gian và trochoid bên phía ngoài và trochoid phía bên trong là x ＝ ( a ± b ) cos t ∓ c cos (( a ± b ) / b ) t , y ＝ ( a ± b ) sin t - c sin (( a ± b ) / b ) t ). Ở đây, giả dụ b = c , công thức biểu hiện xycloid bên phía ngoài và xicloit bên trong. Cycloid bên ngoài khi a = b là một trong những cardioid (hình vẽ) 17 ).
