Tổng hợp lý thuyết đầy đủ nhất những gì liên quan tới đường tròn dành riêng cho học sinh lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán.
Bạn đang xem: Lý thuyết đường tròn
Nếu muốn giải được những dạng toán đường tròn lớp 9 thì bắt buộc những em phải nắm vững những lý thuyết đường tròn dưới đây.
I. Sự xác định của đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn
1. Đường tròn– Định nghĩa: Đường tròn vai trung phong bán kính (
– đến đường tròn tâm và điểm M.
+ nằm bên trên đường tròn ⇔
+ nằm trong đường tròn ⇔
– Qua bố điểmkhông thẳng hàngta vẽ được một cùng chỉ một đường tròn.
4.Tính chất đối xứng của đường tròn– Đường tròn là hình bao gồm tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là trung ương đối xứng của của đường tròn đó.
– Đường tròn là hình có trục đối xứng, trục bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
II. Dây của đường tròn
1. đối chiếu độ nhiều năm của đường kính với dây– trong số dây của đường tròn dây lớn nhất là đường kính
2. Quan tiền hệ vuông góc giữa đường kính và dây– vào một đường tròn, đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
– vào một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thìvuông gócvớidây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng bí quyết từ trọng tâm đến dây– trong 1 đường tròn:
+ 2 dây bằng nhau thì biện pháp đều tâm
+ 2 dây biện pháp đều trọng tâm thì bằng nhau
– trong 2 dây của 1 đường tròn
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần trung ương hơn
+ Dây như thế nào nhỏ hơn thì dây đó xa trọng điểm hơn
III. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
1. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường trònCho đường tròn trọng tâm
– Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt⇔
Khi đường thẳng với đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm bình thường giữa đường thẳng cùng đường tròn gọi là tiếp điểm.
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn– Nếu 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì nó vuông góc với nửa đường kính đi qua tiếp điểm
– Nếu1 đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn với vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thắng ẩy là tiếp tuyến của đường tròn.
3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhauNếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
– Điếm đó giải pháp đều nhì tiếp điểm.
– Tia kẻ từ điểm đó đi qua trung tâm là tia phân giác của góc tạo bởi nhì tiếp tuyến.
– Tia kẻtừ vai trung phong đi qua điểm đólà tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính (đi qua các tiếp điểm)
4. Đường tròn nội tiếp tam giác– Đường tròn tiếp xúc với bố cạnh của một tam giác được gọi làđường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
– vai trung phong của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi làgiao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
5. Đườngtròn bàng tiếp tam giác– Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác với tiếp xúc với những phần kéo dãn dài của nhị cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
– Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
– tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác vào góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B cùng C,hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A cùng đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
IV. Vị trí tương đối của nhị đường tròn
1. Tính chất đường nối tâm– Đường nối trung ương của nhì đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả nhị đường tròn đó.
– Nếu nhị đường tròn cắt nhau thì nhị giao điếm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.
– Nếuhai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
2. Vị trí tương đối của nhì đường trònCho 2 đường tròn cùng đặt
– nhì đường tròn cắt nhau tại 2 điểm⇔
+ chứa ⇔
– Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
– Tiếp tuyến tầm thường trong làtiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
V. Liên hệ giữa cung và dây cung
1. Định lí 1
+ Với nhị cung nhỏ vào một đường tròn xuất xắc trong nhị đường tròn bằng nhau:
– nhì cung bằng nhau căng nhị dây bằng nhau.
– nhị dây bằng nhau căng nhị cung bằng nhau.
2. Định lí 2
+ Với nhì cung nhỏ vào một đường tròn giỏi trong nhị đường tròn bằng nhau:
– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
– Dây lớn hơn căng cunglớn hơn.
3. Bổ sung
+ trong một đường tròn, nhì cung bị chắn giữa hai dây tuy nhiên song thì bằng nhau.
+ vào một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+ vào một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điếm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
+ vào một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy cùng ngược lại.
VI. Góc nội tiếp đường tròn
1. Định nghĩa:Góc nội tiếplàgóc tất cả đỉnh nằm bên trên đường trònvàhai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn ấy.
– Cung nằm phía bên trong góc được gọilàcung bị chắn.
2. Định lí:Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếpbằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
+ vào một đường tròn:
– những góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
– các góc nội tiếp thuộc chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
– Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâmcùng chắn một cung.
– Góc nội tiếp chắn nửa đường trònlà góc vuông.
VI. Góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung
1. Định lí:Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
2. Hệ quả:Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp thuộc chắn một cung thì bằng nhau.
3. Định lí (bổ sung)
– Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm bên trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), cósố đobằng nửa số đo của cung AB căng dây đóvà cung này nằm bên phía trong góc đóthì cạnh Axlàmột tia tiếp tuyến của đường tròn.
VIII. Góc ở đỉnh mặt trong, cùng góc ở đỉnh bên ngoài đường tròn
Định lí 1:Số đocủa góc có đỉnh ở bên phía trong đường tròn bằng nửa tổng so đo nhì cung bị chắn.
Định lí 2:Số đo của góc gồm đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo nhì cung bị chắn.
IX. Cung chứa góc
1. Quỹ tích cung chứa góc– Với đoạn thẳng AB và gócα (002. Giải pháp vẽcung chứa góc α
– Vẽ đường trung trực d của đoạn thắng AB.
– Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α
– Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. GọiO là giao điểmcủa Ay với d.
– Vẽ cung AmB, tâmO, bán kính OA sao để cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB ko chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa gócα.
3. Biện pháp giải việc quỹ tích– Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) những điếm M thỏa kinh niên chấtTlàmột hình H làm sao đó, ta phải chứng minh nhì phần:
+ Phần thuận: Mọi điếm gồm tính chất T đều thuộc hình H.
+ Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều tất cả tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích những điếm Mcó tính chấtT là hình H.
X. Tứ giác nội tiếp
1. Định nghĩaMột tứ giác bao gồm bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Định lí– vào một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 2 góc đối diện bằng
– Nếu một tứ giác tất cả tổng số đo 2 góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp– Tứ giác gồm bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.
– Tứ giác bao gồm tổng số đo 2 góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
– Tứ giác ABCD tất cả 2 đỉnh C và D sao để cho
XI. Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp
1. Định nghĩaĐường tròn đi qua tất cả những đỉnh của một đa giác được gọi là đườngtròn ngoại tiếp đa giác cùng đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
Đường tròn tiếp xúc với tất cảcác cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác cùng đa giác được gọi làđa giác ngoại tiếp đường tròn.
2. Địnhlí– Bất kì đa giác đều nào cũng bao gồm một cùng chỉ một đường tròn ngoại tiếp, tất cả một với chỉ một đường tròn nội tiếp.
– tâm của nhị đường tròn này trùng nhau cùng được gọi làtâm của đa giác đều.
– trọng điểm này là giao điểm hai đường trung trực của nhị cạnh hoặc là nhì đường phân giác của nhị góc.
* Chú ý:
– bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng bí quyết từ trung tâm đến đỉnh.
Xem thêm: Năm Dần Là Con Gì - Phong Thủy Tuổi Dần Là Con Gì
– nửa đường kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng biện pháp từ tâmO đến 1 cạnh.
– cho n_ giác (đa giác tất cả n cạnh) đều cạnh a. Khi đó:
+ Chu vi của đa giác:
+ Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng:
+ Mỗi góc ở trung ương của đa giác gồm số đo bằng:
+ nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp
+ bán kính đường tròn nội tiếp
+ Liên hệ giữa nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:
+ Diện tích đa giác đều:
XII. Độ lâu năm đường tròn, cung tròn
1. Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)– Độ lâu năm C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức
Trên đường tròn bán kính R, độ lâu năm l của một cung no được tính theo công thức:
XIII. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
1. Công thức tính diện tích hình tròn– Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức:
– Diện tích hình quạt tròn bán kính R cung no được tính theo công thức
