Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức và kỹ năng mà các em học ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài bác tập về căn thức cũng thường xuyên xuyên mở ra trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Giải phương trình căn


Có nhiều dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính quý giá của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Mặc dù nhiên, trong nội dung bài viết này họ tập trung tò mò cách giải phương trình cất dấu căn, qua đó áp dụng giải một số bài tập về phương trình cất căn thức nhằm rèn luyện năng lực giải toán.

I. Kỹ năng cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ bước 1: Tìm đk của x nhằm f(x) ≥ 0

+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ cách 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* ví dụ như 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt có nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa đk nên pt bao gồm nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta có (ở bày này ta hoàn toàn có thể rút gọn gàng hệ số trước lúc bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 50.

d) (*)

- vì chưng (1 - x)2 ≥ 0 ∀x nên pt khẳng định với hồ hết giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình tất cả 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* lấy ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- lúc ấy bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa đk này, nên ta KHÔNG nhấn nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) ngôi trường hợp:  (*) thì ta đề xuất kiểm tra biểu thức f(x).

+) nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng biện pháp phân tích thành nhân tử đem lại pt tích).

* ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 nên ta có:

 

*

 

*
 
*

* ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta triển khai như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x buộc phải biểu thức khẳng định với phần đông giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình bao gồm 2 nghiệm x = -1 với x = 5.

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

*

* cách thức giải:

- bước 1: Viết điều kiện của phương trình: 

*

- bước 2: dấn dạng từng loại khớp ứng với các cách giải sau:

 ¤ các loại 1: trường hợp f(x) tất cả dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem về phương trình trị tuyệt vời để giải.

 ¤ một số loại 2: nếu như f(x) = Ax ± B cùng g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ một số loại 3: nếu f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 4: trường hợp f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử so sánh f(x) cùng g(x) thành nhân tử, nếu như chúng bác ái tử phổ biến thì để nhân tử chung đem đến phương trình tích.

- cách 3: soát sổ nghiệm tìm kiếm được có thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại không tiếp nối kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình dìm nghiệm này.

- Phương trình bao gồm nghiệm x = 2.

* ví dụ như 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không tồn tại dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế đề nghị là dạng hàm bậc 1) cần để khử căn ta dùng phương thức bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi kia ta bình phương 2 vế được:

*

*

- chất vấn x = -10 có thỏa mãn điều khiếu nại không bằng cách thay quý giá này vào những biểu thức đk thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện công việc sau:

- cách 1: Nếu f(x) và h(x) gồm chứa căn thì bắt buộc có đk biểu thức trong căn ≥ 0.

- cách 2: Khử căn thức gửi phương trình về dạng pt trị tốt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- bước 3: Xét lốt trị tuyệt vời nhất (khử trị tuyệt đối) để giải phương trình.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- khía cạnh khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét các trường hợp nhằm phá vết trị giỏi đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- nhận thấy: 

*

*

- Đến trên đây xét những trường phù hợp giải tương tự ví dụ 1 ở trên.

4. Phương pháp giải một trong những phương trình cất căn khác.

i) phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình cất dấu căn.

* ví dụ như 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi kia ta tất cả pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t đầy đủ thỏa đk nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em đang học sinh hoạt nội dung bài bác chương sau).

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, khi đó pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) bao gồm dạng ngơi nghỉ mục 2) một số loại 3; với đk 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 bắt buộc ta có:

*

→ Phương trình tất cả nghiệm x = 6.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Lúc ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi đó pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu đk thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- soát sổ thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa đk nên pt tất cả 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm: Chân Dung Mỹ Anh Trương Mỹ Anh Lộ Nhan Sắc Đời Thường, Tiểu Sử, Đời Tư Của Con Gái Diva Mỹ Linh

ii) phương thức đánh giá biểu thức dưới dấu căn (lớn hơn hoặc nhỏ dại hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình đựng căn thức.

- Áp dụng với phương trình cất căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 với c+d=e)

- PT rất có thể cho ngay dạng này hoặc gồm thể bóc một thông số nào đó để có 2; 2 hay 2;