Bài 2. Tích phân thuộc: Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

I. Tóm tắt lý thuyết tích phân

1. Định nghĩa tích phân

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử F là một nguyên hàm của f trên Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số f(x) kí hiệu là 

Ta dùng kí hiệu 

*
 để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy 
*
.

Bạn đang xem: Tích phân toán lớp 12 bài 2 giải bài tập chi tiết nhất

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi 

*
 hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn thì tích phân  là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = 

2. Tính chất của tích phân

*

II. Kĩ năng giải bài tập về tích phân

1. Một số phương pháp tính tích phân

Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

*

Hướng dẫn:

*

Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất 

*
 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân 

*
.

Hướng dẫn:

Nhận xét: 

*
. Do đó

*

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u"(x), x ∈ với g liên tục trên đoạn <α; β>. Khi đó, ta có

*

Ví dụ 3: Tính tích phân 

*
.

Hướng dẫn:

Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1

Khi đó 

*

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

*
 
*

2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn . Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn <α; β>(*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ <α; β>. Khi đó:

*

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

*

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân 

*
 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân 
*
 thì nên đổi biến dạng 1.

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

*

a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.

Vậy 

*

b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận: 

*
.

Vậy 

*

Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thì

*

hay viết gọn là 

*
. Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính 
*

Dạng hàmP(x): Đa thức

Q(x): sin(kx) hay cos(kx)

P(x): Đa thức

Q(x): ekx

P(x): Đa thức

Q(x): ln(ax + b)

P(x): Đa thức

Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x

Cách đặt* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : 

*

Hướng dẫn:

a) Đặt 

*

Do đó 

*

b) Đặt 

*

*

III. Hướng dẫn trả lời câu hỏi bài tập tích thân lớp 12 bài 2 sgk

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 101:

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ <1; 5>.

*

Lời giải:

1. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.

- Khi đó B và C sẽ có tọa độ lần lượt là (1,3) và (5,11).

- Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích hình thang

*

2. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.

- Khi đó ta có B (1,3) và C(t, 2t + 1).

- Ta có AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.

- Khi đó diện tích hình thang

*

Lời giải:

- Vì F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f(x) nên tồn tại một hằng số C sao cho: F(x) = G(x) + C

- Khi đó F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 106:

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Lời giải:

*

*

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 110:

a) Hãy tính ∫ (x + 1)exdx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

b) Từ đó tính 

*

Lời giải:

*

IV. Hướng dẫn giải bài tập tích phân lớp 12 bài 2 sgk

Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12:

Tính các tích phân sau:

*

Lời giải:

*

*

*

*

*

*

Kiến thức áp dụng

+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:

+ Một số nguyên hàm sử dụng:

Bài 2 trang 112 SGK Giải tích 12:

Tính các tích phân sau:

*
Lời giải:

*

*

*

Kiến thức áp dụng

+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:

+ Một số nguyên hàm sử dụng:

Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12:

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

*
Lời giải:

*

*

*

*

*
Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp đổi biến số tính tích phân 

*

Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn . Có hai cách đổi biến số:

Cách 1:

Đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ"(t).dt

Giả sử φ(α) = a; φ(β) = b.

*
Cách 2:

Đặt u = u(x) ⇒ du = u"(x)dx

Giả sử f(x) viết được dưới dạng : f(x) = g(u(x)).u’(x)

*

Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:

*
Lời giải:

*
Theo công thức tích phân từng phần ta có:

*

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

*

*

Theo công thức tích phân từng phần:

*
Theo công thức tích phân từng phần:

*

*

Theo công thức tích phân từng phần:

*
Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp tích phân từng phần:

Giả sử f(x) = g(x).h(x).

Xem thêm: Dàn Ý Bài Viết Số 7 Lớp 8 Đề 3 : Hãy Nói Không Với Các Tệ Nạn

*

Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12:

Tính các tích phân sau:

*
Lời giải:

*

*

*

*

toán lớp 12 bài 2 giải bài tập do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 12. Bài viết được khansar.net biên tập và đăng trong chuyên mục giải toán 12 giúp các bạn học sinh học tốt môn toán đại 12. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.