Nội dung bài học sẽ trình làng đến các em có mang Giới hạn của hàm số. Dường như là các dạng việc tính số lượng giới hạn của hàm số thuộc với đa số ví dụ minh họa được bố trí theo hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp những em tiện lợi nắm được nội dung bài xích học.

Bạn đang xem: Giới hạn của hàm số lớp 11


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

1.2. Những định lí về giới hạn

1.3. Một số gới hạn đặc biệt

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 2 chương 4 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm vềgiới hạn của hàm số

3.2. Bài bác tập SGK & nâng cao vềgiới hạn của hàm số

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 4 giải tích 11


a) số lượng giới hạn hàm số

Cho khoảng tầm (K) cất điểm (x_0). Ta nói rằng hàm số (f(x)) khẳng định trên (K) (có thể trừ điểm (x_0)) có giới hạn là (L) khi x dần tới (x_0) nếu như với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n in Kackslash m x_0 m ) và(x_n o x_0), ta có:(f(x_n) o L). Ta kí hiệu:

(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)hay (f(x) o L) khi(x o x_0).

b) giới hạn một bênCho hàm số (y = f(x)) xác định trên((x_0;b)) .Số (L) điện thoại tư vấn là số lượng giới hạn bên bắt buộc của hàm số (y = f(x)) khi (x) dần tới (x_0) nếu với đa số dãy ((x_n):x_0 cho hàm số (y = f(x)) xác định trên((a;x_0)).Số (L) điện thoại tư vấn là giới hạn bên trái của hàm số (y = f(x)) khi (x) dần dần tới (x_0) nếu với đa số dãy ((x_n):a

Chú ý: (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L Leftrightarrow mathop lim limits_x o x__0^ + f(x) = mathop lim limits_x o x__0^ - f(x) = L).

c) giới hạn tại vô cựcTa nói hàm số (y = f(x)) xác định trên ((a; + infty )) có giới hạn là (L) lúc (x o + infty ) nếu với tất cả dãy số ((x_n):x_n > a) với (x_n o + infty ) thì (f(x_n) o L). Kí hiệu: (mathop lim limits_x o + infty f(x) = L).Ta nói hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (( - infty ;b)) có số lượng giới hạn là (L) khi (x o - infty ) nếu với đa số dãy số ((x_n):x_n d) giới hạn vô cựcTa nói hàm số (y = f(x)) có số lượng giới hạn dần cho tới dương vô cực khi (x) dần tới (x_0) nếu với tất cả dãy số ((x_n):x_n o x_0) thì(f(x_n) o + infty ). Kí hiệu:(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty ).Tương trường đoản cú ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cựcTa cũng có định nghĩa như trên lúc ta cầm (x_0) vì ( - infty ) hoặc( + infty ).

Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, mến (mẫu số dẫn về(L e 0)) lúc (x o x_0) (hay(x o + infty ;x o - infty ) ) bởi tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi (x o x_0) (hay(x o + infty ;x o - infty )) .

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho phần nhiều hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần dần về vô cực

Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)

Cho ba hàm số (f(x),g(x),h(x)) khẳng định trên (K)chứa điểm (x_0) (có thể các hàm đó không xác định tại (x_0)). Nếu (g(x) le f(x) le h(x) m forall x in K)và (mathop lim limits_x o x_0 g(x) = mathop lim limits_x o x_0 h(x) = L) thì(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L).


(mathop lim limits_x o + infty atopleft( x o - infty ight) x^2k = + infty ) ; (mathop lim limits_x o + infty atopleft( x o - infty ight) x^2k + 1 = + infty ,,left( - infty ight))(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty m ( - infty ) Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 frackf(x) = 0 m (k e 0)).

Bài toán 1: tìm (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) biết (f(x)) xác minh tại (x_0).

Phương pháp:

Nếu (f(x)) là hàm số cho do một công thức thì giá bán trị giới hạn bằng (f(x_0))Nếu (f(x)) cho vì chưng nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có số lượng giới hạn (Giới hạn trái bằng số lượng giới hạn phải).

Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 0 fracsin 2x + 3cos x + x2x + cos ^23x)

b) (mathop lim limits_x o 2 fracsqrt x^2 + 3 - 2xsqrt<3>x + 6 + 2x - 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (mathop lim limits_x o 0 fracsin 2x + 3cos x + x2x + cos ^23x = fracsin 0 + 3cos 0 + 02.0 + cos ^20 = 3)

b) Ta có: (mathop lim limits_x o 2 fracsqrt x^2 + 3 - 2xsqrt<3>x + 6 + 2x - 1 = fracsqrt 2^2 + 3 - 2.2sqrt<3>2 + 6 + 2.2 - 1 = fracsqrt 7 - 45).

Ví dụ 2:

Xét xem những hàm số sau có giới hạn tại những điểm đã cho thấy hay không? Nếu bao gồm hay tìm giới hạn đó?

a) (f(x) = left{ eginarraylfracx^2 + 3x + 1x^2 + 2 m lúc x phía dẫn:

a) Ta có:(mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac3x + 23 = frac53).

(mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - fracx^2 + 3x + 1x^2 + 2 = frac53 Rightarrow mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = frac53).

Vậy(mathop lim limits_x o 1 f(x) = frac53).

b) Ta có:(mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + (2x^2 + 3x + 1) = 1).

(mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - ( - x^2 + 3x + 2) = 2 Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + f(x) e mathop lim limits_x o 0^ - f(x)).

Vậy hàm số (f(x)) không tồn tại giới hạn khi(x o 0).

Ví dụ 3:

Tìm (m) để các hàm số:

a) (f(x) = left{ eginarraylfracx^2 + mx + 2m + 1x + 1 m lúc x ge 0\frac2x + 3m - 1sqrt 1 - x + 2 m khi x phía dẫn:

a) Ta có: (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + fracx^2 + mx + 2m + 1x + 1 = 2m + 1)

(mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - frac2x + 3m - 1sqrt 1 - x + 2 = frac3m - 13)

Hàm số có số lượng giới hạn khi (x o 0) khi còn chỉ khi (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - f(x))

( Leftrightarrow 2m + 1 = frac3m - 13 Leftrightarrow m = - frac43).

b) Ta có: (mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + (3mx + 2m - 1) = 5m - 1)

(mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - left( fracx^2 + x - 2sqrt 1 - x + mx + 1 ight))

( = mathop lim limits_x o 1^ - left( - (x + 2)sqrt 1 - x + mx + 1 ight) = m + 1)

Hàm số có số lượng giới hạn khi (x o 1) khi và chỉ còn khi (mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x))

( Leftrightarrow 5m - 1 = m + 1 Leftrightarrow m = frac12).

Bài toán 2: search (A = mathop lim limits_x o x_0 fracf(x)g(x)) trong các số đó (f(x_0) = g(x_0) = 0).

Dạng này ta call là dạng vô định(frac00).

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu đến đa thức:

Định lí: Nếu đa thức (f(x)) có nghiệm (x = x_0) thì ta bao gồm :

(f(x) = (x - x_0)f_1(x)).

Nếu (f(x)) cùng (g(x)) là các đa thức thì ta phân tích (f(x) = (x - x_0)f_1(x)) và(g(x) = (x - x_0)g_1(x)). Lúc đó(A = mathop lim limits_x o x_0 fracf_1(x)g_1(x)), nếu giới hạn này còn có dạng (frac00) thì ta liên tiếp quá trình như trên.

Chú ý :Nếu tam thức bậc nhị (ax^2 + b mx + c) tất cả hai nghiệm (x_1,x_2) thì ta luôn có sự phân tích(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)).

Nếu (f(x)) cùng (g(x)) là các hàm cất căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để gửi về những đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

1. ((sqrt a - sqrt b )(sqrt a + sqrt b ) = a - b)

2. ((sqrt<3>a pm sqrt<3>b)(sqrt<3>a^2 mp sqrt<3>ab + sqrt<3>b^2) = a - b)

3. ((sqrta - sqrtb)(sqrta^n - 1 + sqrta^n - 2b + ... + sqrtb^n - 1) = a - b)

Nếu (f(x)) và (g(x)) là các hàm đựng căn thức không đồng cấp ta sử dụng phương thức tách, chẳng hạn:

Nếu (sqrtu(x),sqrtv(x) o c) thì ta phân tích:

(sqrtu(x) - sqrtv(x) = (sqrtu(x) - c) - (sqrtv(x) - c)).

Trong nhiều trường hợp bài toán phân tích như trên ko đi đến công dụng ta buộc phải phân tích như sau:(sqrtu(x) - sqrtv(x) = (sqrtu(x) - m(x)) - (sqrtv(x) - m(x))), trong số đó (m(x) o c).

Một đẳng thức buộc phải lưu ý:

(a^n - b^n = (a - b)(a^n - 1 + a^n - 2b + ... + ab^n - 2 + b^n - 1)).

Ví dụ 1:

Tính những giới hạn sau:

a) Tìm giới hạn (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 3x^2 + 2x^2 - 4x + 3.)

b) Tìm số lượng giới hạn (B = mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 5x^2 + 4x^3 - 8.)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 3x^2 + 2x^2 - 4x + 3 = mathop lim limits_x o 1 frac(x - 1)(x^2 - 2x - 2)(x - 1)(x - 3))( = mathop lim limits_x o 1 fracx^2 - 2x - 2x - 3 = frac32).

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 5x^2 + 4x^3 - 8 = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x^2 - 4)x^3 - 2^3)( = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4))( = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x + 2)x^2 + 2x + 4 = 1).

Ví dụ 2:

Tìm các giới hạn sau:

a) (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^n - 1x - 1)

b) (B = mathop lim limits_x o 1 fracx^5 - 5x^3 + 2x^2 + 6x - 4x^3 - x^2 - x + 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (x^n - 1 = (x - 1)(x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1))

Suy ra: (fracx^n - 1x - 1 = x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1)

Do đó: (A = mathop lim limits_x o 1 left( x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1 ight) = n).

b) Ta có: (x^5 - 5x^3 + 2x^2 + 6x - 4 = (x - 1)^2(x + 2)(x^2 - 2))

(x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1))

Do đó: (B = mathop lim limits_x o 1 frac(x + 2)(x^2 - 2)x + 1 = - frac32).

Ví dụ 3:

Tìm các giới hạn sau:

a)(A = mathop lim limits_x o 1 fracsqrt 2x - 1 - xx^2 - 1)

b)(B = mathop lim limits_x o 2 fracsqrt<3>3x + 2 - xsqrt 3x - 2 - 2)

Lời giải:

a)Ta có:(A = mathop lim limits_x o 1 frac2x - 1 - x^2(x - 1)(x + 1)(sqrt 2x - 1 + x))( = mathop lim limits_x o 1 frac - (x - 1)(x + 1)(sqrt 2x - 1 + x) = 0)

b)Ta có:(B = mathop lim limits_x o 2 frac(3x + 2 - x^3)(sqrt 3x - 2 + 2)3(x - 2)(sqrt<3>(3x + 2)^2 + 2sqrt<3>3x + 2 + 4))

( = mathop lim limits_x o 2 frac - (x^2 + 2x + 1)(sqrt 3x - 2 + 2)3(sqrt<3>(3x + 2)^2 + 2sqrt<3>3x + 2 + 4) = - 1) .

Bài toán 3: Tìm(B = mathop lim limits_x o pm infty fracf(x)g(x)), trong đó(f(x),g(x) o infty ), dạng này ta nói một cách khác là dạng vô định(fracinfty infty ).

Phương pháp: tựa như như biện pháp khử dạng vô định ở dãy số. Ta bắt buộc tìm bí quyết đưa về các giới hạn:

(mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) x^2k = + infty ) ; (mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) x^2k + 1 = + infty m ( - infty )).(mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) frackx^n = 0 m (n > 0;k e 0)).(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty m ( - infty ) Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 frackf(x) = 0 m (k e 0)).

Ví dụ 1:

Tìm những giới hạn sau:

a) (A = mathop lim limits_x o + infty frac(4x + 1)^3(2x + 1)^4(3 + 2x)^7)

b) (B = mathop lim limits_x o - infty fracsqrt 4x^2 - 3x + 4 + 3xsqrt x^2 + x + 1 - x)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (A = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4 + frac1x ight)^3left( 2 + frac1x ight)^4left( frac3x + 2 ight)^7 = 8.)

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o - infty frac - sqrt 4 - frac3x + frac4x^2 + 3 - sqrt 1 + frac1x + frac1x^2 - 1 = frac12.)

Ví dụ 2:

Tìm những giới hạn sau:

a) (A = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 2x^2 + 1 - sqrt x^2 + 1 2x + 2)

b) (B = mathop lim limits_x o - infty fracsqrt 3x^2 - 2 + sqrt x + 1 sqrt x^2 + 1 - 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có:(A = mathop lim limits_x o + infty frac x ightx(2 + frac2x) = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 2 + frac1x^2 - sqrt 1 + frac1x^2 2 + frac2x = fracsqrt 2 - 12.) .

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o - infty fracsqrt frac1x + frac1x^2 left( sqrt 1 + frac1x^2 - frac1 x ight ight) = mathop lim limits_x o - infty frac - sqrt 3 - frac2x^2 - sqrt frac1x + frac1x^2 - left( sqrt 1 + frac1x^2 - frac1 ight) = sqrt 3 .)

Ví dụ 3:

Tìm giới hạn (H = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 - sqrt 4x^2 + 2 ight).)

Hướng dẫn:

Ta có: (H = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 16x^4 + 3x + 1 - (4x^2 + 2)sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 )

( = mathop lim limits_x o + infty frac16x^4 + 3x + 1 - (4x^2 + 2)^2left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 ight)left( sqrt 16x^4 + 3x + 1 + 4x^2 + 2 ight))

( = mathop lim limits_x o + infty frac - 16x^2 + 3x - 3left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 ight)left( sqrt 16x^4 + 3x + 1 + 4x^2 + 2 ight))

Suy ra (H = 0).

Bài toán 4: Dạng vô định: (infty - infty ) với (0.infty )

Phương pháp:

Những dạng vô định này ta tìm kiếm cách đổi khác đưa về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ 1:

Tìm giới hạn (A = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt x^2 - x + 1 - x ight).)

Hướng dẫn:

Ta có: (A = mathop lim limits_x o + infty frac(sqrt x^2 - x + 1 - x)(sqrt x^2 - x + 1 + x)sqrt x^2 - x + 1 + x)

( = mathop lim limits_x o + infty fracx^2 - x + 1 - x^2sqrt x^2 - x + 1 + x = mathop lim limits_x o + infty frac - x + 1sqrt x^2 - x + 1 + x = - frac12).

Ví dụ 2:

Tìm số lượng giới hạn (B = mathop lim limits_x o - infty left( 2x + sqrt 4x^2 - x + 1 ight).)

Hướng dẫn:

(B = mathop lim limits_x o - infty frac(2x - sqrt 4x^2 - x + 1 )(2x + sqrt 4x^2 - x + 1 )2x - sqrt 4x^2 - x + 1 )( = mathop lim limits_x o - infty fracx + 12x - sqrt 4x^2 - x + 1 = frac14).

Ví dụ 3:

Tìm các giới hạn sau:(A = mathop lim limits_x o - infty (sqrt<3>x^3 - 3x^2 + sqrt x^2 - 2x ))

Hướng dẫn:

Ta có: (sqrt<3>x^3 - 3x^2 + sqrt x^2 - 2x = (sqrt<3>x^3 - 3x^2 - x) + (sqrt x^2 - 2x + x))

( = frac - 3x^2sqrt<3>(x^3 - 3x^2)^2 + xsqrt<3>x^3 - 3x^2 + x^2 + frac - 2xsqrt x^2 - 2x - x)

( Rightarrow A = mathop lim limits_x o - infty frac - 3sqrt<3>(1 - frac3x)^2 + sqrt<3>1 - frac3x + 1 + mathop lim limits_x o - infty frac - 2 - sqrt 1 - frac2x - 1 = 0).

Bài toán 5: Dạng vô định các hàm lượng giác

Phương pháp:

Ta sử dụng các công thức lượng giác thay đổi về các dạng sau:

( ullet )(mathop lim limits_x o 0 fracsin xx = mathop lim limits_x o 0 fracxsin x = 1), từ trên đây suy ra(mathop lim limits_x o 0 frac an xx = mathop lim limits_x o 0 fracx an x = 1).

( ullet ) trường hợp (mathop lim limits_x o x_0 u(x) = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o x_0 fracsin u(x)u(x) = 1) và(mathop lim limits_x o x_0 frac an u(x)u(x) = 1).

Ví dụ 1:

Tìm số lượng giới hạn (A = mathop lim limits_x o 0 frac1 - cos axx^2.)

Hướng dẫn:

Ta có:(A = mathop lim limits_x o 0 frac2sin ^2fracax2x^2 = fraca2mathop lim limits_x o 0 left( fracsin fracax2fracax2 ight)^2 = fraca2).

Ví dụ 2:

Tìm giới hạn (B = mathop lim limits_x o 0 fraccos 2x - cos 3xx(sin 3x - sin 4x).)

Hướng dẫn:

(B = mathop lim limits_x o 0 frac2sin frac5x2sin fracx2 - 2xcos frac7x2sin fracx2 = - mathop lim limits_x o 0 (frac52.fracsin frac5x2frac5x2).mathop lim limits_x o 0 frac1cos frac7x2 = frac52).

Ví dụ 3:

Tìm các giới hạn sau:

a)(A = mathop lim limits_x o 0 x^3sin frac1x^2)

b)(B = mathop lim limits_x o + infty left( 2sin x + cos ^3x ight)left( sqrt x + 1 - sqrt x ight))

Hướng dẫn:

a) Ta có: (0 le left| x^3sin frac1x^2 ight| le x^3)

Mà (mathop lim limits_x o 0 x^3 = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o 0 left| x^3sin frac1x^2 ight| = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o 0 x^3sin frac1x^2 = 0)

Vậy (A = 0).

Xem thêm: Thông Tư 09/2013/Ttlt-Bgdđt-Btc-Bnv, Request Rejected

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o + infty frac2sin x + cos ^3xsqrt x + 1 + sqrt x )

Mà: (0 le left| frac2sin x + cos ^2xsqrt x + 1 + sqrt x ight| le frac3sqrt x + 1 + sqrt x o 0) lúc (x o + infty ).