A. Lý thuyết cơ bản

1. Hàm số lũy thừa

- Định nghĩa: Hàm số

*
với
*
, được hotline là hàm số lũy thừa.

Bạn đang xem: Hàm số lũy thừa

- Tập xác định:

+

*
nếu
*
là số nguyên dương.

+

*
nếu
*
nguyên âm hoặc bằng 0.

+

*
với
*
không nguyên.

- Đạo hàm:

+ Hàm số

*
có đạo hàm với mọi
*
0" />và
*
.

+ Đạo hàm của hàm hợp:

*
.

- tính chất của hàm số lũy vượt trên khoảng

*
:

2. Hàm số mũ

- Hàm số

*
0,a e 1)" />được hotline làhàm số mũcơ số
*
.

- Hàm số

*
có đạo hàm trên mọi
*
và
*
. Đặc biệt:
*
.

- những tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số luôn đồng biến.

+ Khi

*
0,a e 1)" />được call là hàm số logarit cơ số
*
.

- Hàm số logarit bao gồm đạo hàm trên mọi

*
0" />và
*
.

Đặc biệt

*
.

- những tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số đồng biến;

+ Khi

*
!! ext }^alpha }" />:

+ xác minh với mọi

*
nếu
*
nguyên dương.

+ khẳng định với

*
nếu
*
nguyên âm.

+ khẳng định với

*
0" />nếu
*
không nguyên.

* Hàm số mũ

*
xác định khi
*
xác định
*
.

+

*
xác định
*
.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Tập xác minh của hàm số

*
là

A.

*
!! ext cup ext !!!! ext " />. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
0Leftrightarrow xin (-1;-frac12)cup (0;frac43)" />.

Chọn C.

Ví dụ 1.2:Tập xác định của hàm số

*
là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số đã mang đến xác định

*

Vậy tập xác minh của hàm số là

*
.

Chọn C.

Ví dụ 1.3:Tìm x để hàm số

*
xác định.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
" />.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
để hàm số
*
có tập xác định
*
?

A.

*
-2" />. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số tất cả tập xác minh là

*
để hàm số
*
xác định trên
*
.

A.

*
. B.
*
0\x-m>0endarray ight.Leftrightarrow left eginarraylxmendarray ight." />

Suy ra tập xác định của hàm số là

*
với
*
.

Hàm số xác định trên

*
suy ra
*
.

Chọn lời giải A.

Dạng 2. Tính đạo hàm – Sự biến chuyển thiên – Min, max

A. Phương pháp

- Bảng đạo hàm của những hàm số sơ cung cấp thường gặp:

- Hàm số

*
đồng biến trên
*
.

- Hàm số

*
nghịch thay đổi trên
*
.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Tính đạo hàm những hàm số sau :

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

Lời giải:

a)

*

b)

*

c)

*

d/

*

e)

*

Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm những hàm số sau :

a.

*
b.
*
c.
*
ln ^2x" />

d.

*
e.
*
f.
*

Lời giải:

a)

*
.

b)

*
.

c)

*
ln ^2xRightarrow y"=left< left( ln x ight)^frac23 ight>"=frac23left( ln x ight)^-frac13frac1x=frac23xsqrt<3>ln x" />.

d)

*

e)

*
=fracx^2+10x+9left( x+5 ight)left( x^2-9 ight)ln 3" />

f)

*
=fracleft( sqrtx+1 ight)8xln 10left( 1-sqrtx ight)" />

Ví dụ 2.3 (THPT chăm Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3)Trong những hàm số sau, hàm số như thế nào đồng biến đổi trên tập xác minh của nó?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*
là giá chỉ trị bé dại nhất cùng giá trị lớn số 1 của hàm số
*
trên
*
" />. Xác định nào sau đây đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Do

*
là hàm nghịch trở thành trên
*
" />nên
*
.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Đà Nẵng 2017)Cho hàm số

*
. Tìm giá trị khủng nhất
*
của hàm số trên
*
" />.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*
.Chọn D.

Ví dụ 2.6 (THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hóa 2017)Tìm tập hợp những giá trị của tham số

*
để trang bị thị hàm số
*
đồng biến trên
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
" />. D.
*
" />.

Lời giải:

Ta có

*
.

Hàm số đồng biến đổi trên

*
khi và chỉ còn khi

*
0\Delta "=1-m^2le 0endarray ight.Leftrightarrow mge 1" />.Chọn A.

Ví dụ 2.7:Xét các số thực

*
,
*
thỏa mãn
*
b>1" />. Tìm giá trị nhỏ nhất
*
của biểu thức
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Với điều kiện đề bài, ta có

*
^2}+3log _bleft( fracab ight)=4left< log _fracableft( fracab.b ight) ight>^2+3log _bleft( fracab ight)" />

*
}^2}+3log _bleft( fracab ight)." />

Đặt

*
0" />(vì
*
b>1" />), ta có
*
.

Ta có

*

Vậy

*
. Khảo sát điều tra hàm số, ta có
*
.Chọn D.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số mũ với hàm số logarit

Ví dụ3.1:Đường cong vào hình bên là thứ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số chính là hàm số nào?

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Nhận thấy đấy là đồ thị của hàm số logarit

*
nên một số loại đáp án C, D.

Điểm

*
thuộc thứ thị hàm số nên:

*
.

Ví dụ3.2:Tìm

*
để hàm số
*
.Chọn A.

Ví dụ3.3:Biết hàm số

*
có thứ thị như hình bên.

Khi đó, hàm số

*
có đồ vật thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở tư đáp án dưới đây?

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
là hàm số chẵn đề nghị nhận Oy có tác dụng trục đối xứng.

Vậy chọn giải đáp A.

Ví dụ 3.4:Tìm tất cả các giá trị thực của

*
để hàm số
*
nên chọn giải đáp C.

Ví dụ 3.5:Đồ thị hàm số

*
là hình nào trong tư hình được liệt kê ở tư phương án A, B, C, D bên dưới đây:

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
không có phần nằm dưới trục hoành bắt buộc loại giải đáp C.

Hàm số

*
xác định cùng với mọi
*
0" />nên đồ dùng thị hàm số
*
không cắt trục Oy.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.6:Hình bên là vật thị của cha hàm số

*
b>c" />.

B.

*
a>c" />.

C.

*
c>a" />.

D.

*
c>b" />.

Lời giải:

Do

*
và
*
là hai hàm đồng thay đổi nên
*
1" />.

Do

*
nghịch biến đổi nên
*
.

Dễ thấy

*
a>c" />.Chọn B.

Dạng 4. Lãi suất vay ngân hàng

A. Phương pháp

* Lãi đơn:

Số tiền lãi chỉ tính bên trên số tiền cội mà bên cạnh trên tiền lãi vì chưng số tiền cội sinh ra.

Công thức tính lãi đơn:

*
.

Trong đó:

*
: Số chi phí cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền gửi ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

* Lãi kép:

Là số tiền lãi không chỉ có tính bên trên số tiền gốc ngoại giả tính trên số chi phí lãi bởi tiền gốc đó sinh ra đổi khác theo từng định kì.

- Lãi kép gởi một lần:

*

Trong đó:

*
: Số chi phí cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền gửi ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

- Lãi kép giữ hộ định kì

Trường phù hợp 1: tiền được gửi vào thời gian cuối mỗi tháng.

Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc tín đồ đó bước đầu gửi tiền:

*
.

Cuối tháng đồ vật hai, người đó tất cả số chi phí là:

*
=fracMleft< (1+r)-1 ight>left< (1+r)^2-1 ight>=fracMrleft< (1+r)^2-1 ight>" />

Cuối tháng đồ vật ba:

*
(1+r)+fracMr.r=fracMrleft< (1+r)^2-1 ight>" />.

Cuối tháng lắp thêm n, bạn đó bao gồm số chi phí là:

*
" />.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Bác Hiếu đầu tư 99 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất

*
một năm. Hỏi sau 5 năm mới tết đến rút tiền lãi thì bác bỏ Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm ko đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Sau 5 năm chưng Hiếu thu được số chi phí lãi là

*
=48,155" />triệu đồng.

Chọn A.

Ví dụ 2.2:Cô Mai nhờ cất hộ 100 triệu vnd vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 3 mon với lãi suất

*
một quý. Hỏi sau 8 năm cô Mai thu được từng nào tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử rằng lãi suất hàng quý không đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Một kì là 3 tháng, suy ra 8 năm là

*
kì.

Sau 8 năm cô Mai thu được số chi phí là

*
triệu đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.3:Một nguời gửi tiết kiệm với lãi vay 8,4% năm với lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau từng nào năm ngưòi đó thu đuợc gấp hai số chi phí ban đầu?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Gọi số tiền ban sơ là T số chi phí (cả cội lẫn lãi) sau n năm là

*
(công thức lãi kép)

*
.Đáp án D.

Ví dụ 2.4(Đề minh họa năm 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất

*
trên năm. Ông hy vọng hoàn nợ cho ngân hàng theo bí quyết sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ống bước đầu hoàn nợ; nhì lần hoàn nợ liên tục cách nhau đúng một tháng, số tiền trả nợ ở mỗi lần là tương đồng và trả không còn tiền nợ sau đúng cha tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền
*
mà ông A bắt buộc trả cho bank là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không biến hóa trong thời gian ông A hoàn nợ.

A.

*
B.
*

C.

*
D.
*

Lời giải:

Lãi suất

*
một năm tương ứng
*
một mon nên
*
.

Sau một mon ông A hoàn nợ 1 lần, những lần trả nợ tiếp theo tiếp nối một tháng. Ông A trả không còn nợ sau 3 tháng, có nghĩa là ông A trả nợ 3 lần.

Gọi

*
(đồng) là số chi phí ông A trả nợ từng tháng.

Cuối tháng thứ nhất, ông A nợ

*
(triệu đồng).

Đã trả hết

*
đồng đề xuất còn nợ
*
(triệu đồng).

Xem thêm: Phân Tích 8 Câu Cuối Bài Tình Cảnh Lẻ Loi Của Người Chinh Phụ

Cuối tháng lắp thêm hai ông A còn nợ:

*
!! ext (1+1%)-m=100(1+1%)^2-m(1+1%)" />.

Cuối mon thứ tía ông A còn nợ:<100(1+1%)2-m(1+1%)-m>(1+1%)-m=100(1+1%)3-m(1+1%)2-m=100(1+1%)3-m(1+1%)31%