Mặt Phẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Nội dung bài bác học sẽ giúp đỡ các em nắm được khái niệm, cách xác minh góc thân hai mặt phẳng, mối liên hệ của diện tích nhiều giác với hình chiếu của nó, các điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc nhau. Dường như là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hiện ra các kĩ năng giải bài tập liên quan đến xác minh góc thân hai phương diện phẳng, chứng minh hai khía cạnh phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Góc thân hai mặt phẳng

1.2. Hai mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp đầy đủ và hình chóp cụt đều

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 4 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai phương diện phẳng vuông góc

3.2 bài xích tập SGK và cải thiện vềHai phương diện phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học 11

Góc thân hai khía cạnh phẳng là góc giữa hai đường thẳng theo thứ tự vuông góc với nhì mặt phẳng đó.

Nhận xét:Nếu hai mặt phẳng tuy vậy song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc thân hai khía cạnh phẳng đó bằng 0o.

Cho nhì mặt phẳng (P) cùng (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

Lấy I bất kì thuộc c.

Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

Khi đó góc thân hai phương diện phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Với S là diện tích s đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của nhiều giác kia trên (Q),(varphi)là góc giữa (P) và (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).

1.2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai phương diện phẳng được call là vuông góc với nhau trường hợp góc thân chúng bởi 90o.

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có ở bên cạnh vuông góc với đáy.

Nhận xét: các mặt mặt của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật cùng vuông góc với phương diện đáy.

Định nghĩa: Hình lăng trụ phần đa là hình lăng trụ đứng gồm đáy là nhiều giác đều.

Nhận xét: các mặt bên của hình lăng trụ hầu hết là mọi hình chữ nhật đều nhau và vuông góc với khía cạnh đáy.

Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng tất cả đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình hộp đứng tư mặt bên đều là hình chữ nhật.

Định nghĩa: Hình vỏ hộp chữ nhật là hình hộp đứng gồm đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả 6 khía cạnh của hình vỏ hộp chữ nhật phần đa là hình chữ nhật.

Định nghĩa: Hình lập phương là hình vỏ hộp chữ nhật có toàn bộ các cạnh bằng nhau.

1.4. Hình chóp hồ hết và hình chóp cụt đều

Định nghĩa: Một hình chóp được call là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác gần như và các bên cạnh bằng nhau.

Nhận xét:

+ Đường vuông góc với dưới mặt đáy kẻ tự đỉnh hotline là đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp đầy đủ đáy của chính nó là nhiều giác phần nhiều và chân đường cao của hình chóp trùng với chổ chính giữa của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp hồ hết đáy của nó là nhiều giác phần lớn và các ở bên cạnh tạo voéi dưới đáy các góc bằng nhau.

Định nghĩa: Khi giảm hình chóp mọi bởi một mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt này được gọi là hình chóp cụt đều.

Nhận xét:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tất cả cạnh bởi a. Tính số đo của góc thân (BA’C) với (DA’C).

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bảo hành = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, lòng ABC là tam giác cân AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) với (AB’I).

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) với (AB’I).

Theo công thức hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác).

Từ (1) với (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). Call M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC cùng BM. Chứng minh rằng:((SAC) ot (SMB).)

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Xem thêm: Cách Giải Bất Phương Trình Lớp 10, Công Thức Bất Phương Trình

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ từ bỏ (1) và (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)