1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K trường hợp F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của lnx

Bạn sẽ xem: Tính nguyên hàm của lnx dx bằng

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm tất cả 3 tính chất quan trọng cần nhớ:


*

*

*

3. Các phương thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi trở nên tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong những số ấy φ(x) là hàm số mà lại ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu hiện f(x)dx = gφ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu thị $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: lúc đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dạng 1


*

c) Đổi biến tấu 2


*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần


Nguyên tắc chung để tại vị u và dv: tìm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, lượng chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình vẫn hướng dẫn biện pháp bấm máy vi tính nguyên hàm cấp tốc theo 3 bước sau:

Bước 1: thừa nhận shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá chỉ nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án bắt buộc chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm thứ tính

Bước 1: Nhập vào máy tính xách tay casio $fracddxleft( frac12.ln left( 2x + 3 ight ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A cùng C nếu mang đến X = 2 thì hầu như cho tác dụng là 0. Vậy khi bao gồm trị tuyệt vời thì cho X một giá chỉ trị mang đến biểu thức vào trị tuyệt vời nhất âm.

Xem thêm: Đề Thi Hsg Toán 9 Cấp Trường, Quận Huyện, Tỉnh Thành Phố, 100 Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

* Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong số ấy $A(x)$ cùng $B(x)$ là những đa thức cùng bậc với $P(x).$ Bước 2: đem đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số biến động ta khẳng định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: nếu như bậc của nhiều thức lớn hơn $3$ thì bí quyết 1 trầm trồ cồng kềnh, vì lúc đó ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, do đó ta đi đến nhận định và đánh giá như sau:

Nếu bậc của nhiều thức bé dại hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dấn xét trên, ta sử dụng phương thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = cosx$$ – sin x$ $(2).$

Đồng tuyệt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$