Các dạng toán phương trình lượng giác, phương pháp giải và bài xích tập trường đoản cú cơ bạn dạng đến nâng cao - toán lớp 11

Sau khi làm quen với các hàm lượng giác thì những dạng bài bác tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp theo sau mà các em sẽ học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình lượng giác 11 nâng cao


Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương thức giải ra sao? họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các phương pháp giải này để triển khai các bài tập trường đoản cú cơ phiên bản đến cải thiện về phương trình lượng giác.

I. Triết lý về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, lúc ấy phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong những cung thỏa cosα = a, lúc đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π cùng cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó những nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và cách thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức nghiệm khớp ứng với từng phương trình.

* ví dụ như 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải thuật bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác gửi được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để lấy về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bạn dạng như Dạng 1.

* ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ cùng với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* lưu ý: bài toán áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy một ví dụ 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* lưu ý: Bài toán bên trên có áp dụng công thức chuyển đổi tổng các thành tích và công thức nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* lấy ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm con số giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai so với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* lưu lại ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* lấy một ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ với t = 1: sinx = 1 

*

+ với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 cần loại

*
*
 
*

* Chú ý: Đối cùng với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình vày a≠0,

 Chia 2 vế đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - ví như phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta vậy d = d.sin2x + d.cos2x, cùng rút gọn đem về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ phương pháp 1: Chia nhì vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ giải pháp 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t.

* giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* lưu giữ ý: bài xích toán áp dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng cùng với sinx với cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Cuộc Thi Đại Sứ Văn Hóa Đọc 2021, Vinh Danh Giải Thưởng Đại Sứ Văn Hóa Đọc Năm 2021

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu lại ý: 

*
 nên đk của t là: 

- do đó sau khi kiếm được nghiệm của PT (*) đề nghị kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng lại cũng có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ cùng với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Với phần nhiều giá trị làm sao của x thì giá chỉ trị của các hàm số y = sin 3x với y = sin x bằng nhau?

° giải thuật bài 2 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài bác 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT gồm nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải mã bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến đây ta cần so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT tất cả họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải thuật bài 1 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT gồm tập nghiệm 

*

* bài xích 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0