Bài viết phía dẫn quá trình tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần, đồng thời nêu ra một số dạng toán thường chạm mặt và kinh nghiệm đặt biến hóa số thích hợp khi tiến hành tích phân từng phần.

Bạn đang xem: Tích phân từng phần, công thức cách tính và bài tập có lời giải

Phương pháp tích phân từng phần:Nếu $u(x)$ với $v(x)$ là các hàm số có đạo hàm liên tiếp trên $left< a;b ight>$ thì:$intlimits_a^b u(x)v"(x)dx $ $ = left( u(x)v(x) ight)left| eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b v(x)u"(x)dx .$Hay: $intlimits_a^b udv = uvleft .$

Áp dụng cách làm trên ta có quy tắc tính $intlimits_a^b f(x)dx $ bằng phương pháp tích phân từng phần như sau:+ Bước 1: Viết $f(x)dx$ dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng phương pháp chọn 1 phần thích hợp của $f(x)$ làm cho $u(x)$ cùng phần còn lại $dv = v"(x)dx.$+ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = int dv = int v"(x)dx .$+ Bước 3: Tính $intlimits_a^b vdu = intlimits_a^b vu’dx $ và $uvleft| eginarraylb\aendarray ight. .$+ Bước 4: Áp dụng công thức $intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^b udv = uvleft .$

Cách đặt $u$ cùng $dv$ trong phương thức tích phân từng phầnĐiều quan trọng khi áp dụng công thức tích phân từng phần là làm cố gắng nào để chọn $u$ và $dv = v’dx$ thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân $f(x)dx$. Nói chung nên chọn lựa $u$ là phần của $f(x)$ nhưng khi đem đạo hàm thì 1-1 giản, chọn $dv = v’dx$ là phần của $f(x)dx$ là vi phân một hàm số đang biết hoặc có nguyên hàm dễ dàng tìm.

*

+ giả dụ tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là đa thức đựng $x$ với $Q(x)$ là một trong hồ hết hàm số: $e^ax$, $sin ax$, $cos ax$ thì ta thường đặt:$left{ eginarraylu = P(x)\dv = Q(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = P"(x)dx\v = int Q(x)dxendarray ight. $+ Nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là nhiều thức của $x$ cùng $Q(x)$ là hàm số $ln(ax)$ thì ta đặt: $left{ eginarraylu = Q(x)\dv = P(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = Q’left( x ight)dx\v = int P(x)dxendarray ight. $+ nếu tính tích phân $J = intlimits_alpha ^eta e^axsin bxdx $ thì ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = sin bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = – frac1bcos bxendarray ight. $Tương trường đoản cú với tích phân $I = intlimits_alpha ^eta e^axcos bxdx $, ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = cos bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = frac1bsin bxendarray ight. $Trong trường hòa hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần tiếp nối trở các thành tích phân ban đầu. Từ kia suy ra công dụng tích phân nên tính.

Xem thêm: Cấp Độ Khái Quát Của Nghĩa Từ Ngữ, Soạn Bài : Ngắn Gọn, Chi Tiết

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: Tính những tích phân sau:a. $intlimits_1^2 fracln xx^5dx .$b. $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx .$c. $intlimits_0^1 xe^xdx .$d. $intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = ln x\dv = frac1x^5dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = – frac14x^4endarray ight.$Do đó: $intlimits_1^2 fracln xx^5dx $ $ = left. – fracln x4x^4 ight|_1^2 + frac14intlimits_1^2 fracdxx^5 $ $ = – fracln 264 + left. frac14left( – frac14x^4 ight) ight|_1^2$ $ = frac15 – 4ln 2256.$b. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = sin xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx $ $ = left( xsin x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 sin xdx $ $ = fracpi 2 + cos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. = fracpi 2 – 1.$c. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = e^xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^1 xe^xdx $ $ = xe^xleft| eginarrayl1\0endarray ight. – intlimits_0^1 e^xdx $ $ = e – e^xleft| eginarrayl1\0endarray ight.$ $ = e – left( e – 1 ight) = 1.$d. Đặt $left{ eginarraylu = e^x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = e^xdx\v = sin xendarray ight.$ $ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^xsin xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xsin xdx .$Đặt $left{ eginarraylu_1 = e^x\dv_1 = sin xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu_1 = e^xdx\v_1 = – cos xendarray ight.$$ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 + e^xcos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $$ Leftrightarrow 2intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 – 1$ $ Leftrightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx = frace^fracpi 2 – 12.$

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:a. $I = intlimits_1^3 frac3 + ln x(x + 1)^2dx .$b. $J = intlimits_ – 1^0 (2x^2 + x + 1)ln (x + 2)dx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = 3 + ln x\dv = fracdx(x + 1)^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = frac – 1x + 1endarray ight.$$I = – left. frac3 + ln xx + 1 m ight|_1^3 + intlimits_1^3 fracdxx(x + 1) $ $ = – frac3 + ln 34 + frac32 + left. ight|_1^3$ $ = frac3 – ln 34 + ln frac32.$b. Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 2)\dv = (2x^2 + x + 1)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = frac1x + 2dx\v = frac23x^3 + frac12x^2 + xendarray ight.$$J = (frac23x^3 + frac12x^2 + x)ln (x + 2)left| _ – 1^0 ight.$ $ – frac16intlimits_ – 1^0 frac4x^3 + 3x^2 + 6xx + 2dx $$ = – frac16intlimits_ – 1^0 (4x^2 – 5x + 16 – frac32x + 2)dx $ $ = – frac16left. left< frac43x^3 – frac52x^2 + 16x – 32ln (x + 2) ight> ight|_ – 1^0$$ = frac163ln 2 – frac11936.$

Ví dụ 3: Tính tích phân sau: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx .$

Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 1)\dv = xdxendarray ight.$ ta có $left{ eginarrayldu = frac1x + 1dx\v = fracx^2 – 12endarray ight.$Suy ra: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx $ $ = left. left< ln (x + 1)fracx^2 – 12 ight> ight|_0^e – 1$ $ – frac12intlimits_0^e – 1 (x – 1)dx $ $ = frace^2 – 2e2 – frac12left( fracx^22 – x ight)left| _0^e – 1 ight.$ $ = frace^2 – 34.$Chú ý: Trong ví dụ này, ta chọn $v = fracx^2 – 12$ thay vì $v = fracx^22$ để câu hỏi tính tích phân $intlimits_0^e – 1 vdu $ dễ dãi hơn, như vậy các bạn đọc rất có thể chọn $v$ một cách khéo léo để lời giải được ngắn gọn.