Ý tưởng

Ý tưởng của thuật toán như sau: Ở bước lặp thứ k ta nỗ lực hàm f(x) bởi tiếp tuyến với đồ thị tại điểm xk. Nghiệm xấp xỉ tiếp theo là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành.




Bạn đang xem: Phương pháp tiếp tuyến

Ý nghĩa hình học
*

f là hàm khả vi và dễ tính giá chỉ trị đạo hàm thì phương pháp tiếp tuyến tất cả tốc độ hội tụ nhanh.

*

Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục 2 lần trên đoạn và thoả mãn: f(a).f(b)0 gọi là điểm Fourier của f nếu:

f(x0) f’’(x0) >0

Dễ thấy với các điều kiện trên nếu một trong nhị điểm a, b là điểm Fourier, thì điểm kia không là Fourier. (Vì f(a) cùng f(b) trái dấu, còn f’’(x) ko đổi dấu)

Định lý (điều kiện hội tụ theo Furiê_điều kiện đủ)

Giả sử là khoảng nghiệm của phương trình f(x)=0. Đạo hàm f’(x), f’’(x) liên tục, không đổi dấu, không tiêu diệt trên . Khi đó ta chọn xấp xỉ nghiệm ban đầu x0 thuộc sao cho f(x0)*f’’(x0) > 0 thì quy trình lặp sẽ hội tụ đến nghiệm.

Phương pháp tiếp tuyến giỏi còn gọi là phương pháp Fourier gồm tốc độ hội tụ cao.

Xấp xỉ ban đầu x0 được chọn là một điểm Fourier thuộc kể cả a và b.

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y=f(x) tại xk là:

y = f’(xk) (x-xk) +f(xk);

Nghiệm xấp xỉ ở bước k+1 sẽ là nghiệm của phương trình:

f’(xk) (x-xk) +f(xk) =0

hay ta tất cả công thức lặp:

*

Ta gồm thể chứng minh dãy trên đơn điệu cùng hội tụ đến nghiệm phương trình

Ước lượng không đúng số:

Giả sử x* là nghiệm của (4.1), đặt m = min. Ta tất cả ước lượng sau:

*

Thật vậy, ta có

f(xn) = f(xn) – f(x*) = f’(c) (xn – x*)

nên

*

Vì những đạo hàm f’(x) và f’’(x) không đổi dấu bên trên yêu cầu

m = min f’(a) >0


Thuật toán Newton

Dạng giả mã của thuật toán:

Procedure Newton

);

x=x 0 =điểm Fourier

while (




Xem thêm: Ảnh Hickey - Hôn Hickey Là Gì

Ứớc lượng không nên số:

Sai số ở bước n được tính theo công thức là:

*

Ví dụ

Ví dụ 1: Để tính gần đúng 153 size 12 nroot kích thước 83 "15" ta giải phương trình x3 -15 =0 trên đoạn <2,3>. Dễ kiểm tra thấy f(2).f(3) 2 >0; f’’(x) =6x>0 bên trên đoạn <2,3> với x0=3 là điểm Fourier và m = min12, 27 = 12

Công thức bao gồm dạng:

*

Ta bao gồm x1 = 2,5556; x2 = 2,4693

Sai số |x2- x*| Giải: - bóc tách nghiệm:

f(x) = x3 + x - 5

f’(x) = 3x2 + 1 > 0 mọi x

Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất f(1)* f(2) = (-3)*5 0 mọi x thuộc (1, 2) f’(x) > 0 mọi x

Thoả mãn điều kiện hội tụ Furiê, áp dụng phương pháp tiếp tuyến

Chọn với x0 = 2 ( vị f(2). F’’(2) > 0)

Ví dụ 3: Xét phương trình f(x) = x3 - 3x + 1 = 0 vào khoảng giải pháp ly nghiệm <0,1/2>. Ta gồm

*
Chọn x0 = 0 thỏa điều kiện Fourier.

Kết quả giám sát và đo lường theo công thức lặp Newton đến ta bảng sau: