Nhiều hệ thống vật lý phức tạp được biểu diễn bởi phương trình vi phân nó không tồn tại thể giải đúng chuẩn bằng giải tích. Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng các giá trị thu được bằng việc giải gần đúng của các hệ phương trình vi phân bởi phương pháp số hóa. Theo cách đó, lời giải của phương trình vi phân đúng là một giai đoạn quan lại trọng vào giải tích số.
Bạn đang xem: Phương pháp vi phân
Trong trường hợp tổng quát, thứ tự của việc làm tích phân số là quy trình từng bước chính xác chuổi giá bán trị đến mỗi biến phụ thuộc tương ứng với một giá trị của biến độc lập. Thường thủ tục là chọn giá chỉ trị của biến độc lập vào một khoảng cố định. Độ đúng đắn cho lời giải bởi tích phân số phụ thuộc cả hai phương pháp chọn và kích thước của khoảng giá trị. Một số phương pháp thường xuyên cần sử dụng được trình bày trong những mục sau đây.
Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số
Phương pháp Euler:
Cho phương trình vi phân bậc nhất.
Khi x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc, nghiệm phương trình (2.1) sẽ gồm dạng:
y = g(x,c) (2.2)
Với c là hằng số đã được xác định từ lý thuyết vào điều kiện ban đầu. Đường cong miêu tả phương trình (2.2) được trình bày trong hình (2.1). Từ chỗ tiếp xúc với đường cong, đoạn ngắn gồm thể giả sử là một đoạn thẳng. Theo cách đó, tại mỗi điểm riêng biệt biệt (x0,y0) bên trên đường cong, ta có:
Với
Khi Δy là số gia của y tương ứng với một số gia của x. Tương tự, giá bán trị thứ hai của y có thể xác định như sau.
Bảng giá bán trị x cùng y cung cấp mang đến toàn bộ bài giải phương trình (2.1). Minh họa phương pháp như hình 2.2.
Phương pháp biến đổi Euler.
Trong lúc ứng dụng phương pháp Euler, giá trị dy/dx của khoảng giả thiết giám sát bắt đầu vượt ra phía bên ngoài khoảng đến phép. Sự chũm thế đó có thể thu được bằng cách giám sát và đo lường giá trị mới của y đến x1 như trước.
x1 = x0 + h
Dùng giá chỉ trị mới x1 với y1(0) nạm vào phương trình (2.1) để đo lường và tính toán gần đúng giá chỉ trị của
Sau đó tận dụng giá trị y1(1) bao gồm thể kiếm tìm thấy bởi dùng trung bình của
Dùng x1 cùng y1(1), giá bán trị xấp xỉ thứ bố y1(2) gồm thể thu được bởi quy trình tương tự như
Ta được:
Quá trình có thể tính tiếp tục mang đến đến khi hai số liền nhau ước lượng cho y là ngang bằng nằm vào phạm vi muốn muốn. Quá trình hoàn toàn lặp lại thu được giá bán trị y2. Kết quả thu được gồm sự chính xác cao hơn từ sự biến đổi của phương pháp Euler được minh họa vào hình 2.3.
Phương pháp Euler bao gồm thể ứng dụng để giải hệ phương trình vi phân thuộc lúc. Mang lại hai phương trình:
Với giá chỉ trị ban đầu x0, y0 cùng z0 giá chỉ trị mới y1 sẽ là:
Cho số gia tiếp theo, giá bán trị x1 = x0 + h, y1 cùng z1 sử dụng để xác định y2 với z2. Vào phương pháp biến đổi Euler y1 và z1 cần sử dụng để xác định giá chỉ trị đạo hàm tại x1 mang lại đánh giá gần đúng cấp nhị y1(1) và z1(1).
Phương pháp Picard với sự xấp xỉ liên tục.
Cơ sở của phương pháp Picard là giải bao gồm xác, bởi sự chũm thế giá bán trị y như hàm của x trong phạm vi giá bán trị x đã cho.
y g(x)
Đây là biểu thức ước lượng bởi sự cố thế trực tiếp giá chỉ trị của x để thu được giá chỉ trị tương ứng của y. Mang đến phương trình vi phân (2.1).
dy = f(x,y)dx
Và tích phân giữa khoảng giới hạn mang đến x với y.
Số hạng tích phân trình bày sự thay đổi trong kết quả của y với sự rứa đổi của x từ x0 đến x1. Lời giải có thể thu được bởi sự đánh giá bán tích phân bằng phương pháp xấp xỉ liên tục.
Ta có thể xem giá trị của y như hàm của x có thể đã thu được bởi sự nắm thế y dưới dạng tích phân với y0, cho giá trị ban đầu như sau:
Thực hiện biểu thức tích phân với giá trị mới của y bây giờ được thế thế vào phương trình (2.3) thu được lần xấp xỉ thứ hai mang lại y như sau:
Quá trình này có thể lặp lại vào thời gian cần thiết để thu được độ chính xác mong muốn..
Thật vậy, ước lượng tích phân luôn luôn phức tạp thế nhưng phải giả thiết mang đến biến cố định. Khó khăn và cần thực hiện nhiều lần tích phân, bắt buộc đây là mặt hạn chế sự áp dụng của phương pháp này.
Phương pháp Picard bao gồm thể áp dụng để giải đồng thời nhiều phương trình như sau:
Theo công thức, ta có:
Trong phương pháp Runge- Kutta sự thế đổi giá trị của biến phụ thuộc là đo lường và tính toán từ các công thức đã cho, biểu diễn vào điều kiện ước lượng đạo hàm tại những điểm định trước. Từ mỗi giá chỉ trị duy nhất đúng mực của y mang đến bởi công thức, phương pháp này không đòi hỏi thế thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler tuyệt tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard.
Công thức rút gọn gần đúng xuất vạc bởi sự nạm thế khai triển chuổi Taylor. Runge- Kutta xấp xỉ bậc hai bao gồm thể viết vào công thức.
y1 = y0 + a1k1 + a2k2 (2.4)
Với k1 = f(x0,y0)h
k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h
Các hệ số a1, a2, b1 và b2 là chủ yếu xác. Đầu tiên khai triển f(x0+ b1h, y0+ b2k1) vào chuổi Taylor tại (x0,y0), ta được:
Thay thế hai điều kiện k1 với k2 vào vào phương trình (2.4), thu được:
Khai triển chuổi Taylor của y tại giá trị (x0,y0) là:
Phương trình (2.6) trở thành.
Cân bằng những hệ số của phương trình (2.5) và (2.7), ta được:
a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2.
Chọn giá trị tùy ý mang đến a1
a1 = 1/2
Thì a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = 1.
Thay thế giá trị này vào vào phương trình (2.4), công thức gần đúng bậc hai Runge-Kutta là:
Với k1 = f(x0,y0)h
k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h
Vì thế.
Áp dụng của phương pháp Runge-Kutta cho việc xấp xỉ bậc hai đòi hỏi sự đo lường và thống kê của k1 với k2. Không đúng số vào lần xấp xỉ là bậc h3 bởi bởi vì chuổi đã cắt sau điều kiện bậc hai.
Tông quát tháo công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta là:
Với k1 = f(x0,y0)h
k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h
k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h
k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h
Tiếp theo thủ tục giống như sử dụng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số vào phương trình (2.8) thu được là:
a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6.
Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1.
nắm thế các giá trị vào trong phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta trở thành.
Với k1 = f(x0,y0)h
Như vậy, sự giám sát của Δy theo công thức đòi hỏi sự thống kê giám sát các giá trị của k1, k2, k3 cùng k4 :
Δy = 1/6(k1+2k2+2k3+k4)
Sai số vào sự xấp xỉ là bậc h5.
Công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta được cho phép giải đồng thời nhiều phương trình vi phân.
Ta có:
y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4)
z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4)
Với: k1= f(x0,y0,z0)h
k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h
l1 = g(x0,y0,z0)h
l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h
Phương pháp dự đoán sửa đổi.
Phương pháp dựa bên trên cơ sở ngoại suy, tuyệt tích phân vượt trước, và lặp lại nhiều lần việc giải phương trình vi phân.
Được gọi là phương pháp dự đoán sửa đổi. Thủ tục cơ bản trong phương pháp dự đoán sửa đổi là xuất phạt từ điểm (xn,yn) đến điểm (xn+1, yn+1). Thì thu được
Loại đơn giản của công thức dự đoán phương pháp của Euler là:
yn+1 = yn + yn’h (2.10)
Với:
Công thức chính xác không dùng trong phương pháp Euler. Mặc dù, vào phương pháp biến đổi Euler giá chỉ trị gần đúng của yn+1 thu được từ công thức dự đoán (2.10) với giá trị cố gắng thế vào phương trình vi phân (2.9) chính là y’n+1. Thì giá trị chính xác cho yn+1 thu được từ công thức biến đổi của phương pháp là:
Giá trị cầm cố thế trong phương trình vi phân (2.9) thu được có sự đánh giá chính xác hơn mang đến y’n+1, nó luôn luôn vậy thế trong phương trình (2.11) tạo cho yn+1 đúng đắn hơn. Quy trình tiếp tục lặp lại đến đến khi hai giá chỉ trị đo lường và thống kê liên tiếp của yn+1 từ phương trình (2.11) trùng với giá bán trị ao ước muốn chấp nhận được.
Phương pháp dự đoán biến đổi kinh điển của Milne. Dự đoán của Milne cùng công thức biến đổi, theo ông là:
Và
Với:
Bắt đầu của sự đo lường và tính toán đòi hỏi biết bốn giá chỉ trị của y. Tất cả thể đã thống kê giám sát bởi Runge-Kutta xuất xắc một số phương pháp số trước lúc sử dụng công thức dự đoán sửa đổi của Milne. Không đúng số trong phương pháp là bậc h5.
Trong trường hợp tổng quát, phương pháp hy vọng muốn chọn h đủ nhỏ yêu cầu chỉ vài lần lặp là đòi hỏi thu được yn+1 trả toàn đúng chuẩn như ý muốn muốn.
Phương pháp tất cả thể mở rộng chất nhận được giải một số phương trình vi phân đồng thời. Phương pháp dự đoán sửa đổi là áp dụng độc lập đối với mỗi phương trình vi phân như một phương trình vi phân đơn giản. Bởi vậy, nỗ lực thế giá chỉ trị mang đến tất cả những biến phụ thuộc vào vào mỗi phương trình vi phân là đòi hỏi sự đánh giá bán đạo hàm tại (xn+1, yn+1).
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO.
Trong kỹ thuật trước đây mô tả cho việc giải phương trình vi phân bậc nhất cũng gồm thể áp dụng cho việc giải phương trình vi phân bậc cao bằng sự đưa vào của biến phụ. Ví dụ, mang đến phương trình vi phân bậc hai.
Với điều kiện ban đầu x0, y0, cùng
Một vào những phương pháp mô tả trước đây tất cả thể là việc làm cho đi kiếm tìm lời giải mang đến hai phương trình vi phân bậc nhất đồng thời.
Xem thêm: Lời Giải Chi Tiết Đề Minh Họa Môn Hóa 2017 Lần 3 Môn Hóa Học Của Bộ Gd & Đt
Theo cách tương tự, một vài ba phương trình hay hệ phương trình bậc cao gồm thể quy về hệ phương trình vi phân bậc nhất.