Phương Trình Lượng Giác Chứa Tham Số 3, Biện Luận Phương Trình Lượng Giác Chứa Tham Số

Phương trình lượng giác luôn là dạng toán gây cạnh tranh cho nhiều em, bởi dạng toán cũng tương đối đa dạng với tập nghiệm lại mang ý nghĩa tổng quát. Và câu hỏi giải biện luận phương trình có tham số m vẫn càng phức tạp hơn bởi đòi hỏi kiến thức bao quát hơn.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác chứa tham số

Việc giải cùng biện luận phương trình lượng giác tất cả chứa tham số m để giúp đỡ các em chũm được giải pháp giải một các tổng quát, qua đó khi giải những phương trình lượng giác cụ thể sẽ cảm thấy dễ dãi hơn siêu nhiều.

Với các câu hỏi lượng giác chứa tham số thường xuyên yêu cầu tìm đk của tham số nhằm phương trình có nghiệm hoặc tìm đk của tham số để phương trình tất cả n nghiệm thuộc một khoảng tầm D như thế nào đó. Nội dung bài viết dưới đây, sẽ giúp đỡ các em thâu tóm được cách giải dạng phương trình này.

I. Cách giải phương trình lượng giác chứa tham số m

Cho phương trình lượng giác bao gồm chứa tham số m dạng Q(m,x) = 0 (*)

Để giải việc biện luận phương trình lượng giác có chứa tham số m ta thường sử dụng hai phương pháp sau:

• phương pháp 1: cách thức tam thức bậc 2 (áp dụng khi chuyển Q(m,x) về dạng tam thức bậc 2)

- cách 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong những số đó h(x) là 1 trong biểu thức phù hợp trong phương trình (*)

- cách 2: tìm miền quý hiếm (điều kiện) của t trên tập khẳng định D (x ∈ D). Gọi miền quý hiếm của t là D1

- bước 3: Đưa phương trình (*) về phương trình dạng f(m,t) = at2 + bt + c = 0 (**)

- bước 4: Giải (**) tìm đk để tam thức f(m,t) có nghiệm

- bước 5: Kết luận

• Cách 2: Phương pháp đạo hàm

- cách 1: Từ phương trình (*): Q(x,m) = 0 ta thường đổi khác về dạng F(x) = m cùng đặt ẩn phụ để lấy về dạng G(t) = m.

- Bước 2: Tìm miền quý giá (điều kiện) của t bên trên tập xác định D (x ∈ D). Gọi miền cực hiếm của t là D1

- cách 3: Lập bảng biến thiên của hàm số G(t) bên trên miền khẳng định D1

- bước 4: phụ thuộc bảng biến thiên của hàm số nhằm biện luận nghiệm của phương trình.

• Một số dạng đặc biệt quan trọng như phương trình: asinx + bcosx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

II. Giải cùng biện luận phương trình gồm chứa tham số m qua ví dụ như minh họa

* lấy một ví dụ 1: tìm m nhằm phương trình sau gồm nghiệm:

2sin2x - sinx.cosx - cos2x - m = 0 (*)

* Lời giải:

- Ta có:

(*) có nghiệm ⇔ 12 + 32 ≥ (1 - 2m)2

⇔ 4m2 - 4m - 9 ≤ 0

⇔

Vậy với

thì phương trình (*) có nghiệm.

* lấy ví dụ như 2: kiếm tìm m nhằm phương trình sau có nghiệm x (0; π/4)

mcos2x - 4sinx.cosx + m - 2 = 0 (*)

* Lời giải:

Với x∈(0; π/4) suy ra cosx ≠ 0.

Có sử dụng những công thức lượng giác cơ bản:

Ta phân tách cả hai vế của phương trình cho cos2x ≠ 0 ta được:

m - 4tanx + (m - 2)(1 + tan2x) = 0

⇔ (m - 2)tan2x - 4tanx + 2m - 2 = 0 (**)

Đặt t = tanx vì x∈(0; π/4) buộc phải t∈(0;1), ta được

(m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0 (***)

Khi đó (*) có nghiệm x∈(0;π/4) khi và chỉ khi (***) gồm nghiệm t∈(0;1)

Ta rất có thể sử dụng một trong các hai bí quyết giải sẽ nêu sinh sống trên và việc này.

* bí quyết 1: sử dụng tam thức bậc 2 (giải tương tự cách giải cùng biện luận phương trình bậc 2 một ẩn tất cả tham số).

+) với m - 2 = 0 ⇔ m = 2 khi ấy (***) có dạng:

-4t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2∈(0;1)

Vậy m = 2 thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài xích toán

+) Với m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 khi ấy (***) có nghiệm t∈(0;1) rất có thể xảy ra 2 ngôi trường hợp

- TH1: pt(***) có một nghiệm trực thuộc đoạn (0;1), tức là:

f(0).f(1)

⇔ 1

- TH2: pt(***) tất cả 2 nghiệm ở trong đoạn (0;1)

Không có mức giá trị nào m thỏa

(Giải thích ý nghĩa hệ trên: Δ"≥0 để phương trình tất cả 2 nghiệm; af(1)>0 nhằm 1 nằm ngoài khoảng 2 nghiệm; af(0)>0 nhằm 0 ở ngoài khoảng hai nghiệm; 0

⇒ Kết luận: với 1

* phương pháp 2: Dùng phương thức đạo hàm (hàm số)

- Viết lại phương trình: (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0

⇔ mt2 - 2t2 - 4t + 2m - 2 = 0

⇔ (t2 + 2)m = 2t2 + 4t + 2