Nguyên hàm là trong số những chuyên đề đặc biệt quan trọng của Giải tích Toán 12 với thường xuất hiện thêm nhiều trong các kì thi đại học. Vậy gồm có công thức nguyên hàm quan trọng nào nên nhớ? Team khansar.net Education sẽ giúp các em giải đáp và tìm nắm rõ hơn về bảng phương pháp nguyên hàm tự cơ bạn dạng đến nâng cao và cách thức giải bài bác tập nguyên hàm thông dụng qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Tất cả các công thức nguyên hàm


học livestream trực đường Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại khansar.net Education

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào tò mò công thức về nguyên hàm, các em cần nắm rõ khái niệm nguyên hàm tương tự như các đặc thù và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K, từ bây giờ hàm số F(x) được điện thoại tư vấn là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F’(x) = f(x) (với đông đảo x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:


Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

Định lý 1: mang sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) bên trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong nguyên hàm của f(x).Định lý 2: bên trên K, giả dụ F(x) là 1 trong những nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) bên trên K đều có dạng F(x) + C, cùng với C là một trong những hằng số tùy ý.Định lý 3: bên trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều phải sở hữu nguyên hàm.

Tính hóa học nguyên hàm

3 đặc thù cơ phiên bản của nguyên hàm được diễn đạt như sau:


eginaligned&footnotesizeull extNếu f(x) là hàm số gồm nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)"=f(x) extvà \ &footnotesizesmallint f"(x)dx=f(x) +C.\&footnotesizeull extNếu F(x) gồm đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\&footnotesizeull extTích của nguyên hàm cùng với k là hằng số không giống 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\&footnotesizeull extTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint =smallint f(x)dxpm smallint g(x)dxendaligned

Bảng cách làm nguyên hàm cơ bản, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều sở hữu những bí quyết riêng. Những cách làm này đã làm được tổng vừa lòng thành các bảng sau đây để những em dễ ợt phân loại, ghi lưu giữ và áp dụng chính xác.


*

*

*

*

2 phương thức giải bài xích tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi biến đổi số

Đây là phương thức được thực hiện rất đôi lúc giải nguyên hàm. Vị vậy, những em cần phải nắm vững phương pháp này nhằm giải các bài toán nguyên hàm cấp tốc và đúng mực hơn.

Phương pháp đổi biến loại 1:

Cho hàm số u = u(x) gồm đạo hàm liên tiếp trên K, y = f(u) tiếp tục để f xác minh trên K cùng ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫fu"(x)dx = F + C

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) cùng tính vi phân hai vế: dt = φ"(t)dt.

Sau đó, biến hóa biểu thức thành: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi thay đổi loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và tất cả đạo hàm là φ"(t). Thời gian này:

∫f(x)dx = ∫f<φ(t)>.φ"(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ"(t)dt.

Thực hiện biến hóa đổi: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) với v(x) có đạo hàm tiếp tục trên K thì:


small smallint u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u"(x)dx exthay smallint udv=uv-smallint vdu\ ( extvới du=u"(x)dx, dv=v"(x)dx)
Cách giải:

Trước hết, những em cần đổi khác tích phân thứ nhất về dạng:


I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:


egincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcasesimplies egincasesdu=f"_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases
Lúc này thì những em đã có:


smallint udv=uv-smallint vdu
Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể mà những em áp dụng phương pháp sao đến phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường xuyên gặp

Dạng 1:


*

Dạng 2:


Dạng 3:


Bài tập về công thức nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu khái niệm nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) bên trên một khoảng.

b. Phương thức tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra lấy một ví dụ minh họa cho phương pháp tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác minh trên tập xác định D.

Hàm số Y = F(x) được call là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D lúc Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F"(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: Top 7 Bài Phân Tích Đoạn 1 Tràng Giang Của Huy Cận, Phân Tích Khổ Thơ Đầu Bài Thơ Tràng Giang

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được tư tưởng như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) cùng v = v(x) bao gồm đạo hàm liên tiếp trên D, lúc đó ta có công thức: