Tìm thiết diện của hình chóp cắt do mặt phẳng cất đường thẳng tuy nhiên song với mặt đường thẳng khác
Với kiếm tìm thiết diện của hình chóp cắt vì mặt phẳng đựng đường thẳng tuy nhiên song với mặt đường thẳng không giống Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương thức giải, lấy ví dụ minh họa và bài xích tập trắc nghiệm tất cả lời giải cụ thể sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài bác tập thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đựng đường thẳng song song với mặt đường thẳng không giống từ kia đạt điểm cao trong bài bác thi môn Toán lớp 11.
Bạn đang xem: Tìm thiết diện của hình chóp
A. Phương pháp giải
Xác định lần lượt những giao đường của (P) với những mặt của hình chóp theo công việc sau:
- trường đoản cú điểm chung tất cả sẵn , khẳng định giao tuyến thứ nhất của (P) cùng với một khía cạnh của hình chóp (Có thể là phương diện trung gian)
- đến giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được những điểm chung new của (P) với các mặt khác . Từ đó khẳng định được những giao tuyến bắt đầu với các mặt này
- liên tục như thế tính đến khi các giao đường khép kín ta được tiết diện .
Sử dụng định lí: nhì mặt phẳng chứa hai đường thẳng tuy vậy song thì giao con đường của chúng tuy nhiên song với 2 con đường thẳng đó:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: đến tứ diện ABCD. Gọi M cùng N thứu tự là trung điểm của AB và AC; call E là vấn đề thuộc CD sao để cho ED = 3EC. Thiết diện tạo vì chưng mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác MNE
B. Tứ giác MNEF với F là trung điểm BD
C. Hình bình hành MNEF cùng với F là vấn đề trên cạnh BD mà lại EF // BC
D. Hình thang MNEF cùng với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC
Lời giải
+ Tam giác ABC gồm M; N theo lần lượt là trung điểm của AB; AC
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.
+ Ta search giao tuyến của mp (MNE) cùng mp(BCD) :
Gọi giao điểm của tia Ex và BD là F
Do đó: MN // EF suy ra bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng và MNEF là hình thang
Vậy hình thang MNEF là thiết diện đề nghị tìm
Chọn D
Ví dụ 2: đến hình chóp tứ giác phần lớn S. ABCD tất cả cạnh đáy bằng a. Các điểm M; N; p lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC. Khía cạnh phẳng (MNP) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích s bằng:
Lời giải
+ vì N; p. Lần lượt là trung điểm của SB; SC
⇒ NP là mặt đường trung bình của tam giác SBC nên NP // BC // AD
+ Ta tra cứu giao tuyến đường của (MNP) cùng (SAD) có:
+ trong mp ( SAD) ; điện thoại tư vấn Mx cắt SD trên Q
⇒ tiết diện của hình chóp là tứ giác MNPQ.
+ Tam giác SAD có M; Q lần lượt là trung điểm của SA; SD suy ra MQ // AD
+ Tam giác SBC tất cả N; phường lần lượt là trung điểm của SB; SC suy ra NP // BC
còn mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP với MQ = NP = (1/2)BC = (1/2)AD
⇒ MNPQ là hình bình hành .
+ mà lại AB = AC và AB vuông góc cùng với BC (do đấy là hình chóp tứ giác đều)
⇒ MN = NP với MN vuông góc NP
⇒ MNPQ là hình vuông vắn cạnh MN = a/2
+ Diện tích hình vuông MNPQ là S = (a/2)2 = a2/4
Chọn C
Ví dụ 3: mang lại hình chóp S. ABCD gồm đáy ABCD là hình bình hành. Call I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt vì mặt phẳng ( IBC) là:
A. Tam giác IBC
B. Hình thang IBCJ với J là trung điểm SD
C. Hình thang IGBC cùng với G là trung điểm SB
D. Tứ giác IBCD
Lời giải
+ Ta tìm giao đường của mp (IBC) với (SAD)
+ Trong mặt phẳng (SAD) có: Ix // AD
Gọi giao điểm của Ix cùng SD là J
⇒ IJ // BC
⇒ thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi vì mặt phẳng (IBC) là hình thang IBCJ.
Chọn B
Ví dụ 4: mang lại tứ diện ABCD. điện thoại tư vấn M và N lần lượt là trung điểm AB với AC. Mặt phẳng (α) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là một đa giác. Xác định nào sau đây đúng?
A. Thiết diện là hình chữ nhật
B. Thiết diện là tam giác
C. Tiết diện là hình thoi
D. Thiết diện là tam giác hoặc hình thang
Lời giải
+ ngôi trường hợp: mp (α) ∩ AD = K
⇒ tiết diện là tam giác MNK. Cho nên A và C sai.
+ ngôi trường hợp: (α) ∩ (BCD) = IJ với I ∈ BD; J ∈ CD với I; J không trùng D.
⇒ tiết diện là tứ giác MNJI. Rộng nữa; tứ giác MNJI là hình thang
Thật vậy, bởi MN là mặt đường trung bình của tam giác ABC cần MN // BC.
⇒ Tứ giác MNJI là hình thang
Chọn D
Ví dụ 5: mang đến hai hình vuông ABCD với CDIS ko thuộc một phương diện phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác SAC cân tại S; SB = 8. Tiết diện của hình chóp S.ABCD cắt vì mặt phẳng (ACI) có diện tích bằng:
A. 8 B. 8√2C. 8√3D. 10
Lời giải
+ call O là giao điềm của SD cùng CI; N là giao điểm của AC và BD
⇒ O; N theo thứ tự là trung điểm của DS với DB (do ABCD và CDSI là hình vuông)
⇒ ON là đường trung bình của tam giác SBD với ON = (1/2)SB = 4
+ thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi vì mp (ACI) là tam giác OCA.
Tam giác SAC cân nặng tại S buộc phải SC = SA
⇒ ΔSDC = ΔSDA (c.c.c)
⇒ teo = AO (cùng là mặt đường trung tuyến của 2 định tương ứng)
⇒ tam giác OCA cân nặng tại O
⇒ ON là đường trung tuyến nên đồng thời là con đường cao
Khi đó; diện tích s tam giác OCA là:
Chọn B.
Ví dụ 6: mang lại hình chóp S.ABCD bao gồm đáy hình vuông vắn cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều. Mang đến SC = SD = a√3. Call H cùng K thứu tự là trung điểm của SA; SB. M là mộtđiềm trên cạnh AD. Tiết diện của hình chóp cắt vì chưng (HKM) là:
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Hình thanh cân nặng
D. Hình bình hành
Lời giải
+ xét tam giác SAB có H với K lần lượt là trung điểm của SA; SB
⇒ HK là mặt đường trung bình của tam giác SAB với HK // AB
+ xác minh giao đường của mp(HKM) và (ABCD) có;
+ vào mp ( ABCD) gọi Mx giảm BC trên N
⇒ tiết diện của hình chóp cắt vị mp(HKM) là hình thang KHMN
+ Xét tam giác SAD với SBC có:
⇒ Tứ giác KHMN là hình thang cân
Chọn C
Ví dụ 7: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình bình hành. Hotline I với J theo lần lượt là trọng tâm tam giác SAB với SAD. M là trung điểm của CD. Xác minh thiết diện của hình chóp với mp(IJM)
A. Tứ giác B. Ngũ giácC. Hình thangD. Hình thang cân
Lời giải
+ hotline H cùng K theo thứ tự là trung điểm của AD; AB
+ bởi vì I với J là trung tâm tam giác SAB cùng SAD nên: SJ/SH = SI/SK = 2/3
⇒ IJ // HK
+ xác định giao tuyến của (IJM) và (ABCD):
+ trong mp (ABCD); Mx cắt BC tại N
⇒ thiết diện của hình chóp với mp(IJM) là tứ giác IJMN
+ Lại có: IJ // MN
⇒ Tứ giác IJMN là hình thang
Chọn C
Ví dụ 8: đến hình chóp S.ABCD lòng là hình thang, đáy béo AB. điện thoại tư vấn M là điểm trên cạnh SB thế nào cho SM/SB = 1/4. điện thoại tư vấn H; K thứu tự là trung điểm của AD cùng BC. Tìm mối contact giữa AB và CD nhằm thiết diện của hình chóp cắt bởi (HKM) là hình bình hành?
A. AB = 2CD
B. AB = 3CD
C. AB = 4CD
D. Thiết diện thiết yếu là hình bình hành
Lời giải
+ Xét hình thang ABCD có H và K thứu tự là trung điểm của AD với BC.
⇒ HK là mặt đường trung bình của hình thang.
⇒ HK // AB // CD.
+ khẳng định giao con đường của mp(HKM) và (SAB):
+ trong mp(SAB); Mx cắt SA tại N
⇒ thiết diện là tứ giác HKMN.
+ Để tiết diện là hình bình hành lúc : MN = HK.
+ Lại có: HK = (AB + CD)/2 ( đặc điểm đường vừa phải của hình thang )(1)
+ vị MN // AB nên áp dụng hệ trái định lí Ta-let:
SM/SB = MN/AB = 1/4. ⇔ MN = (AB)/4(2)
Từ ( 1) và (2) suy ra: (AB + CD)/2 = (AB)/4
⇔ 4( AB + CD) = 2AB ⇔ 2AB + 4CD = 0
Vô lí do AB > 0 với CD > 0
⇒ thiết diện của hình chóp cắt bởi vì (HKM) tất yêu là hình bình hành.
Chọn D
C. Bài bác tập trắc nghiệm
Câu 1: mang đến hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành trung khu O . Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (P) cùng với hình chóp S.ABCD là hình gì? biết (P) là khía cạnh phẳng qua điểm M và song song với SC; AD.
A. Tam giác B. Tam giác cân C. Tứ giác D. Hình thang
Lời giải:
+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC
Ta có: SC và AD lần lượt tuy nhiên song với phương diện phẳng (OMQ) đề xuất (OMQ) ≡ (P)
+ dễ ợt tìm được: (OMQ) ∩ (ABCD) = NP, cùng với NP // MQ // BC với O ∈ NP. Từ kia ta có:
vậy tiết diện tạo do (P) với hình chóp là hình thang MNPQ
Câu 2: đến hình chóp S.ABCD. Gọi M; N là nhị điểm bên trên SB; CD và (P) là phương diện phẳng qua MN và tuy vậy song với SC. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) là?
A. Tam giác cânB. Tứ giácC. Hình thang D. Tam giác hoặc tứ giác
Lời giải:
Chọn C
+ Ta khẳng định mp ( P) với tìm giao tuyến đường của mp(P) với các mặt của hình chóp.
- Qua N kẻ NP // SC
Ta có:
Từ đó ta có: (MNP) là mặt phẳng qua MN và tuy nhiên song với SC
Vậy phường ≡ (MNP)
⇒ thiết diện tạo vày (P) cùng hình chóp là tứ giác MPNQ
- theo cách dựng ta có; MP // NQ (cùng // SC)
⇒ MPNQ là hình thang.
Câu 3: đến hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình bình hành. Khía cạnh phẳng (α) qua BD và tuy vậy song với SA, khía cạnh phẳng (α) cắt SC trên K. Khẳng định nào sau đó là khẳng định đúng ?
A. SK = 2KC
B. SK = KC
C. Tiết diện của hình chóp cắt vì mp(α) là tứ giác
D. Tất cả sai
Lời giải:
Chọn B
+ gọi O là giao điểm của AC với BD. Bởi mặt phẳng (α) qua BD nên O ∈ (α)
+ vào tam giác SAC, kẻ OK song song SA (K ∈ SC)
+ trong tam giác SAC ta có
Vậy SK = KC
+ Mp(α) ≡ mp(KBD) bắt buộc thiết diện của hình chóp cắt do mp(KBD) là tam giác KBD.
Câu 4: mang đến hình chóp S. ABCD gồm đáy ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 2 BC, M là trung điểm SA. Khía cạnh phẳng (MBC) cắt hình chóp theo tiết diện là
A. Tam giácB. Hình bình hành. C. Hình thang vuông. D. Hình chữ nhật.
Lời giải:
Chọn B
+ Ta có:
⇒ Mx // BC // AD; điện thoại tư vấn Mx cắt SD trên N
⇒ thiết diện của hình chóp cắt do mp( MBC) là tứ giác MNCB
+ Ta có: MN // AD // BC đề nghị MNCB là hình thang
Lại tất cả MN // AD với M là trung điểm SA
⇒ MN là mặt đường trung bình của tam giác SAD với MN = (1/2)AD = BC
⇒ thiết diện MNCB là hình bình hành.
Câu 5: đến tứ diện ABCD cùng M là vấn đề ở bên trên cạnh AC. Khía cạnh phẳng (α) qua cùng M tuy vậy song cùng với AB cùng CD. Tiết diện của tứ diện cắt bởi vì (α) là
A. Hình bình hànhB. Hình chữ nhậtC. Hình thangD. Hình thoi.
Lời giải:
Chọn A
+ bên trên mp(ABC) kẻ MN // AB; N ∈ BC
Trên mp(BCD) kẻ NP // CD; phường ∈ BD
⇒ (α) chính là mặt phẳng (MNP)
Gọi giao điểm của Px và AD là Q. Vậy MN // PQ // AB(1)
Khi đó, thiết diện của hình chóp cắt vị mp( MNP) là tứ giác MNPQ.
+ Ta có; 3 mp(MNP); mp(ACD) với mp(BCD) song một giảm nhau theo 3 giao con đường là MQ; NP và CD
⇒ MQ // NP // CD (định lí giao con đường 3 mặt phẳng)(2)
Từ (1) cùng (2) suy ra thiết diện MNPQ là hình bình hành
Câu 6: mang lại hình chóp S. ABCD tất cả đáy ABCD là hình thang với những cạnh đáy là AB cùng CD. Call I; J lần lượt là trung điểm của những cạnh AD cùng BC và G là trung tâm của tam giác SAB.
Tìm điều kiện của AB với CD nhằm thiết diện của (IJG) và hình chóp là một hình bình hành.
Xem thêm: Fax, Máy Fax, Số Fax, Gửi Fax Là Gì ? Cách Gửi Fax Bằng Máy Tính?
Lời giải:
+ kiếm tìm thiết diện của hình chóp cắt vì chưng mp(IJG):
Ta có ABCD là hình thang với I; J là trung điểm của AD; BC
⇒ IJ là mặt đường trung bình của hình thang ABCD và IJ // AB.
Giao tuyến của mp (IJG) và mp (SAB):
+ thường thấy thiết diện là tứ giác MNIJ
Do G là trung tâm tam giác SAB và MN // AB đề xuất theo hệ quả định lí Ta-let ta có: MN/AB = SG/SE = 2/3 (với E là trung điểm của AB)
⇒ MN = (2/3)AB
+ lại có IJ là đường trung bình của hình thang ABCD cần IJ = (1/2)(AB + CD)
Vì MN // IJ cần MNIJ là hình thang
Do đó MNIJ là hình bình hành lúc MN = IJ
Vậy thết diện là hình bình hành khi AB = 3CD
Chọn D
Câu 7: cho tứ diện ABCD những cạnh bởi nhau. điện thoại tư vấn I cùng J theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Call K là một trong điểm trên cạnh BD cùng với KB = 2KD. Hỏi thiết diện của tứ diện cùng với mp(IJK) là hình gì?