BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của công tác phổ thông, mục tiêu của bài bác này là ôn tập, hệ thống hóa và cải thiện các kiến thức về hàm số một biến hóa số: Giới hạn, tính thường xuyên của hàm số.

Bạn đang xem: Tính giới hạn lim toán cao cấp

Bạn đã xem: các công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

trả lời học • Đây là bài học nhằm mục đích ôn tập và khối hệ thống hóa lại những kiến thức toán học vẫn học vào chương trình phổ thông nên bạn phải đọc kỹ lại các triết lý về hàm số….

*
bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng kim chỉ nam • đọc được quan niệm hàm số, giới hạn, sựBạn nên học với làm bài bác tập của bài xích nàytrong hai tuần, từng tuần khoảng 3 đến 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính thường xuyên • Áp dụng phần mềm toán để đo lường với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục tiêu của bài bác này là ôn tập, hệ thốnghóa và cải thiện các kỹ năng về hàm số một phát triển thành số: Giới hạn, tính thường xuyên củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài học nhằm mục đích ôn tập và khối hệ thống hóa lại những kiến thức toán học sẽ học trong chương trình thêm nên bạn phải đọc kỹ lại các kim chỉ nan về hàm số, giới hạn.• sau thời điểm đọc kỹ triết lý bạn cần làm bài xích tập càng các càng tốt để củng chũm và nâng cao kiến thức. 1 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một phát triển thành số1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến chuyển số mang lại X là tập thích hợp khác rỗng của R . Ta điện thoại tư vấn ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một thay đổi số bên trên tập hợp X , trong đó x là biến đổi số độc lập, y là đại lượng dựa vào hay hàm số của x . Tập hòa hợp X hotline là miền xác minh của hàm số f . Tập đúng theo f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X call là miền cực hiếm của f ví như hàm số một biến hóa số đến trong dạng biểu thức: y = f (x) nhưng mà không nói gì thêm thì ta đọc miền xác minh của hàm số là tập hợp số đông giá trị thực của biến chuyển số x tạo cho biểu thức tất cả nghĩa. Lấy ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Cho nên vì thế miền xác định của hàm số y = 1 − x 2 là . Dễ ợt thấy rằng miền quý hiếm của hàm y là . Miền khẳng định của một hàm số hoàn toàn có thể gồm những tập bé rời nhau, trên mỗi tập con này lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số hoàn toàn có thể được xác minh bởi nhiều công thức khác nhau tùy nằm trong vào quý hiếm của biến. Lấy một ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 lúc x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số rất có thể là tập hợp các điểm tránh rạc, cũng hoàn toàn có thể gồm một trong những cung tức tốc Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x lúc 0 1 ⎩2 Hình 1.1 bài toán vẽ demo đồ thị của hàm số f với miền xác minh là một khoảng số thực thường xuyên được xác định theo trình tự như sau: Lấy những số x1 , x 2 ,…, x n trường đoản cú miền xác minh của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng ngay sát nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),…, y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),…, M n = (x n , y n ) • Nối những điểm đã xác định nói bên trên ta bao gồm hình hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số. Biện pháp vẽ như bên trên không hoàn toàn đúng chuẩn mà chỉ cho dáng vẻ của thứ thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng làm minh họa Hình 1.2 những đặc trưng cơ bản, sự dựa vào của quý hiếm của hàm số và biến chuyển số. Chú ý vào trang bị thị hoàn toàn có thể dễ dàng quan gần cạnh xu hướng biến đổi của giá trị hàm số khi biến chủ quyền thay đổi.1.1.3. Hàm số đối kháng điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số đối chọi điệu Hàm số f (x) khẳng định trong khoảng chừng (a, b) • Được gọi là 1-1 điệu tăng trong vòng (a, b) nếu với đa số x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng vào khi bỏ dấu đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f bớt ngặt (hay nghịch biến) bên trên (a, b) ). Hàm số f được gọi là 1-1 điệu trên (a, b) nếu như nó chỉ 1-1 điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong tầm này. Đồ thị của hàm số tăng là một trong những đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số sút là con đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái lịch sự phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập hòa hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , ví dụ điển hình khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn dấn trục Oy có tác dụng trục đối xứng, còn đồ gia dụng thị hàm lẻ nhận cội tọa độ O làm trung khu đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) ví như tồn trên số thực p. ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D và f (x + p) = f (x). Số phường gọi là chu kỳ của hàm f . 5 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Nếu trong các số phường nói trên, tồn tại một số trong những dương nhỏ dại nhất – ký kết hiệu vày T – thì T được điện thoại tư vấn là chu kỳ cơ bản của f . Lấy ví dụ 5: các hàm sin x, cos x gần như tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R những hàm tgx,cotgx đa số tuần trả với chu kỳ π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 hơn nữa các chu kỳ luân hồi nói trên phần đa là những chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , mang sử tồn tại số dương T bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Hàm số g phát triển thành x thành y theo nguyên tắc trên hotline là (hàm số) hòa hợp của nhì hàm f và ϕ . Cam kết hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có ảnh hưởng trước đến vươn lên là x ). Ví dụ như 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm thích hợp của nhì hàm y = u 5 với u = sin x . Cách nói sau cũng khá được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm phù hợp của hai hàm f (x) = x 5 với ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) gồm miền khẳng định X , miền quý hiếm Y = f (X) . Nếu như với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại tốt nhất x 0 ∈ X nhằm f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm độc nhất vô nhị trong X ) thì quy tắc phát triển thành mỗi số y ∈ Y thành nghiệm nhất của phương trình f (x) = y là 1 trong những hàm số đi từ bỏ Y mang lại X hotline là hàm ngược của hàm f , ký kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, thuận tiện thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) tất cả hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) gồm hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • những hàm lượng giác quen thuộc đều phải sở hữu hàm ngược với một cách ký kết hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ có hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o kia là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ có hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp ( ( 0, π ) → R ) gồm hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược kia là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • vì chưng thường cam kết hiệu x để chỉ biến chủ quyền và y nhằm chỉ biến phụ thuộc vào nên khi biểu diễn hàm ngược thay bởi vì x = f −1 (y) bao gồm viết y = f −1 (x) . Ví dụ điển hình y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không chuyển đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua con đường phân giác sản phẩm nhất. Thật vậy, hotline (C) và (C’) lần lượt là vật thị của hai hàm f (x) cùng f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ” = (y, x) ∈ (C “) Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Các hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cấp cho cơ phiên bản • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền xác minh (MXĐ) của hàm nhờ vào vào số α . O ví như α ≥ 0 , MXĐ là R . O nếu như α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 nếu như α = , p. ∈ R* thì MXĐ là R + ví như o p p chẵn cùng R nếu phường lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu α vô tỷ, MXĐ được quy cầu là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 và nghịch phát triển thành nếu 0 1 với nghịch trở thành nếu o 0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục y = cos x : tất cả MXĐ là R ,o MGT ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm màn biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ phiên bản 2π . Y = tgx : có MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương xứng mỗi số thực x cùng với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác điểm tia OM ( M là vấn đề biểu diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) cùng với trục rã là đường thẳng gồm phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng π . Y = cotgx: bao gồm MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương xứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là vấn đề biểu diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) cùng với trục cotg là con đường thẳng tất cả phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp • hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : bao gồm MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : bao gồm MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập và hoạt động từ các hàm số sơ cấp cho cơ bạn dạng và hàm hằng thuộc với một số trong những hữu hạn các phép toán số học tập (cộng, trừ, nhân chia) và những phép toán lấy hàm hợp. Lấy một ví dụ 8: các hàm số sau hầu như là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • hàm lượng giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số và số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Hàng số Ta gọi dãy số là một tập hợp những số (gọi là các số hạng) được viết theo một máy tự, tốt được đặt số bằng các số trường đoản cú nhiên. Để cho một dãy số, fan ta rất có thể dùng các phương pháp như liệt kê, công thức tổng quát và cách làm truy hồi. • Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo đúng thứ trường đoản cú (nếu ko viết được hết thì sử dụng dấu “…” để biểu thị dãy còn nữa tục). • công thức tổng quát: chứng minh cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần phải biết thứ tự của số hạng đó trong dãy. • bí quyết truy hồi: chứng thật cách xác minh một số hạng khi biết những số hạng liền trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa sâu sắc mô tả và phù hợp nhất với dãy hữu hạn, hoàn toàn có thể xem là cách biểu diễn bằng quy nạp không trả toàn. Còn hai bí quyết kia đảm bảo có thể tìm kiếm được số hạng với sản phẩm tự bất kỳ trong dãy. Lấy ví dụ 9: hàng Fibonacci với 3 cách màn trình diễn nêu bên trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • phương pháp tổng quát: Số hạng vật dụng n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • bí quyết truy hồi: nhị số hạng thứ nhất đề bởi 1, tiếp đó, số hạng sau được xem bằng tổng nhì số hạng tức thời trước. Công thức tổng thể của dãy số là bí quyết biểu diễn cực tốt để có thể định nghĩa dãy số. Nhờ nó, dãy số được tư tưởng một phương pháp hết sức đơn giản mà chặt chẽ. Định nghĩa: hàng số là một trong ánh xạ (hàm số) có miền xác định là (hoặc một tập con những số từ nhiên liên tiếp của ) cùng lấy giá trị trong tập những số thực R . Ta thường ký kết hiệu hàng số do x n n =1 hay gọn rộng x n . ∞ 11 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,…, ,…⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,…, (−1) n ,… n∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,…, n 2 ,… 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,…, (D) ,…⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Hàng tăng, dãy giảm, hàng bị chặn Dãy x n điện thoại tư vấn là • dãy tăng nếu x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy solo điệu nếu nó là dãy tăng hoặc hàng giảm.

Xem thêm: Tóm Tắt Toán 10 : Đại Số 10 Và Hình Học 10, Kiến Thức Cần Nhớ Toán 10

• Bị chặn trên giả dụ tồn tại số M làm thế nào để cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị chặn dưới nếu như tồn trên số m làm sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị ngăn nếu vừa bị ngăn trên, vừa bị chặn dưới. Trong ví dụ như 10 • dãy (A) là hàng số giảm, bị chặn dưới bởi 0 cùng bị ngăn trên do 1. • dãy (B) không đối kháng điệu, bị chặn dưới bởi −1 và bị chặn trên bởi 1. • hàng (C) là hàng tăng, bị chặn dưới vị 1 không bị chặn bên trên nên không bị chặn. • hàng (D) là hàng tăng, bị chặn dưới vì chưng 0 và bị ngăn trên do 1.1.2.2. Giới hạn của hàng số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét dãy số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,…, n ,…⎬ . Khoảng cách giữa x n với 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: cho trước một số trong những ε > 0 nhỏ xíu tùy ý thì sẽ tìm kiếm được một số N làm thế nào cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n và 0 sẽ nhỏ thêm hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, mang lại trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = 0 đến trước (bé tùy ý), mãi sau số tự nhiên n 0 làm thế nào cho với phần lớn n > n 0 thì x n − a bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Ta viết: lim x n = a tuyệt x n → a lúc n → ∞ . N →∞ dãy x n được gọi là dãy hội tụ nếu lâu dài số a để lim x n = a . Trong trường thích hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong quan niệm trên, số n 0 phụ thuộc vào vào ε cần ta viết n 0 = n 0 (ε) . Lấy ví dụ 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 bất kỳ chỉ đề nghị chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì khi n > n 0 bao gồm ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 mang lại trước (lớn tùy ý), mãi sau số tự nhiên n 0 làm sao cho với hồ hết n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ với là dãy phân kỳ. N →∞ Trên đây chỉ tuyên bố định nghĩa số lượng giới hạn vô cùng nói chung, ta rất có thể phát biểu chi tiết hơn về giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn tồn trên giới hạn1.2.3.1. Tính độc nhất của giới hạn Định lý: nếu một hàng có giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy sẽ là dãy bị ngăn . • giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp nếu như có bố dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a hoàn toàn có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có số lượng giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass dãy số tăng cùng bị chặn trên (hoặc giảm và bị ngăn dưới) thì hội tụ. 13 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục1.2.4. Các định lý về số lượng giới hạn của hàng số mang đến x n , y n là những dãy có giới hạn hữu hạn. Cần sử dụng định nghĩa gồm thể chứng tỏ các kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ chú ý rằng khi cả x n , y n có những giới hạn vô rất thì nhìn chung không sử dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi đó ta được các công dụng nói trên. Những dạng vô định thường chạm mặt là 0∞ nên dùng các phép biến hóa để khử dạng vô định. Ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) trả sử hàm số f (x) xác định ở sát bên điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là A lúc x dần dần tới x 0 nếu: với đa số số ε > 0 mang đến trước, hầu hết tồn tại một số δ > 0 sao cho khi: x − x 0 x 0 hay x bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục • quy trình x tiến mang đến x 0 về phía mặt phải, tức là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản dễ dàng hơn là x → x 0 + • quá trình x tiến mang lại x 0 về phía mặt trái, có nghĩa là x → x 0 với đk x x 0 • giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • lúc L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: trả sử ϕ( x) cùng f (u) thỏa mãn nhu cầu các điều kiện: lim ϕ(x) = b và lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • trường tồn số δ > 0 làm thế nào cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: nếu như hàm số sơ cấp cho f (x) xác minh trong khoảng tầm chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: giả dụ tồn trên số δ > 0 làm sao cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim g(x ) = bα . X →a x →a x →a lấy ví dụ như 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 và lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , vì chưng lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: giả dụ lim f (x) = 0 cùng g(x) là một trong những hàm số bị chặn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 vị lim x 2 = 0 với sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Khôn cùng lớn, cực kì bé1.3.3.1. Tư tưởng • Đại lượng f(x) gọi là một trong vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → a nếu lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a có thể là hữu hạn xuất xắc vô cùng. Từ bỏ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A lúc x → a thì f (x) = A + α(x) trong số ấy α(x) là một trong những VCB lúc x → a • Đại lượng F(x) gọi là một trong những vô cùng béo (viết tắt là VCL) lúc x → a trường hợp lim F(x) = +∞ x →a16 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục 1 • rất có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một trong VCB không giống không khi x → a thì là VCL f (x) 1 và trái lại nếu F(x) là 1 VCL khác không khi x → a thì là 1 VCB F(x) lúc x → a . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là 1 trong VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn từng nào cũng ko thể là một VCL lúc x → a1.3.3.2. Tính chất • nếu như f1 (x), f 2 (x) là hai vietcombank khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những vietcombank khi x → a . • giả dụ f1 (x), f 2 (x) thuộc dấu với là nhị VCL lúc x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một trong VCL khi x → a . Tích của nhị VCL lúc x → a cũng là 1 trong những VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh các vô cùng nhỏ xíu • Bậc của những VCB Định nghĩa: mang sử α( x), β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → a . α(x) = 0 ; ta bảo rằng α( x) là vcb bậc cao hơn nữa β( x) . Nếu như lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta nói rằng α(x) là ngân hàng ngoại thương vietcombank bậc thấp hơn β(x) . Ví như lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) cùng β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb cùng bậc. Giả dụ lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng ko thể đối chiếu hai ngân hàng ngoại thương vietcombank α(x) với Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Lấy một ví dụ 14: 1 − cos x với 2x đều là những vietcombank khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 nên 1 − cos x là ngân hàng ngoại thương vcb bậc cao hơn 2x . Lấy ví dụ 15: 1 x.sin cùng 2x là những ngân hàng ngoại thương khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục 1 1 đề xuất x sin cùng 2x là hai ngân hàng ngoại thương khi x → 0 không nhưng lại không trường tồn lim sin x x x →0 đối chiếu được với nhau. • VCB tương đương Định nghĩa: Hai vcb α ( x ) và β ( x ) không giống 0 khi x → a gọi là tương tự với nhau nếu như α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) thừa nhận xét: 2VCB tương đương là trường hợp quan trọng đặc biệt của 2 vietcombank cùng bậc. Định lý: giả dụ α(x) với β(x) là hai ngân hàng ngoại thương khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) lúc x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thật vậy, bởi vì α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng nhỏ xíu tương đương thường chạm mặt Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là một trong hàm số xác minh trong khoảng (a, b), x 0 là một trong những điểm ở trong (a, b) .Ta bảo rằng hàm số f tiếp tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 ví như hàm số f không liên tiếp tại x 0 , ta nói rằng nó ngăn cách tại x 0 . Nếu như đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) có thể viết là: lim = 0 giỏi lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói cách khác rằng f tiếp tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 lấy ví dụ 16: Hàm số y = x 2 thường xuyên tại phần nhiều x 0 ∈ R . Thiệt vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tương tự như như vậy, bao gồm thể chứng minh được rằng đông đảo hàm số sơ cung cấp cơ bản đều liên tục tại số đông điểm nằm trong miền xác minh của nó.18 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Định nghĩa: f(x) được hotline là: liên tiếp trong khoảng (a, b) giả dụ nó tiếp tục tại gần như điểm của khoảng đó. Liên tục trên đoạn , nếu nó liên tiếp tại phần nhiều điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tiếp phải tại a (tức là lim f (x) = f (a) ) và tiếp tục trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Những phép toán về hàm tiếp tục Từ những định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ khái niệm của hàm số liên tiếp tại một điểm, hoàn toàn có thể dễ dàng suy ra: Định lý: ví như f và g là nhị hàm số liên tiếp tại x 0 thì: • f (x) + g(x) tiếp tục tại x 0 • f (x).g(x) thường xuyên tại x 0 f (x) • liên tục tại x 0 nếu như g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: trường hợp hàm số u = ϕ(x) thường xuyên tại x 0 , hàm số y = f (u) tiếp tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số thích hợp y = (f ϕ)(x) = f liên tiếp tại x 0 . Bệnh minh: Ta gồm lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vì chưng ϕ liên tục tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 . Vì chưng đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tục Các định lý dưới đây (không triệu chứng minh) nêu ra những đặc thù cơ bạn dạng của hàm số liên tục. Định lý: nếu hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn thì nó bị ngăn trên đoạn đó, có nghĩa là tồn tại nhì số m với M làm sao để cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ . Định lý: giả dụ hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất m cùng giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại nhị điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ Định lý (về quý hiếm trung gian): nếu như hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn ; m và M là những giá trị nhỏ dại nhất và lớn số 1 trên đoạn kia thì với tất cả số μ nằm trong lòng m cùng M luôn tồn tại ξ ∈ sao cho: f ( ξ) = μ .

Hệ quả: giả dụ f(x) thường xuyên trên , f(a)f(b) bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài này bọn họ nghiên cứu vãn ba sự việc là:• Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến đổi số• dãy số và số lượng giới hạn của dãy số• số lượng giới hạn của hàm sốPhần thứ nhất hệ thống hóa lại các khái niệm cơ phiên bản về hàm số một đổi mới số, một vài tính chấtcủa hàm số như tính đối kháng điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học tập viên sẽ mày mò cáckhái niệm về hàng số và số lượng giới hạn của dãy số, những định lý vận dụng để tính giới hạn của hàng số.Phần sau cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và những khái niệm cực kỳ lớn, vôcùng bé.20