Trong bài này đang ôn lại con kiến thức cho các em về giới hạn của hàm số, giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn quan trọng đặc biệt và bài các bài toán tìm giới hạn


Các em cần nắm vững kiến thức triết lý về giới hạn của hàm số để vận dụng linh hoạt vào từng dạng toán cố gắng thể.

Bạn đang xem: Toán giới hạn lớp 11

A. Bắt tắt lý thuyết về số lượng giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt

*

*
(c: hằng số)

2. Định lý

a) Nếu:  và 

*
 thì:

 

*

 

*

 

*

 

*

b) giả dụ

*
 và  thì:

 

*
 và 
*

c) Nếu  thì 

*

II. Giới hạn vô cực. Số lượng giới hạn ở vô cực

1. Giới hạn đặc biệt

*

2. Định lý:

*

III. Giới hạn 1 bên

 

*

* khi tính số lượng giới hạn có một trong số dạng vô định: 

*
 thì cần tìm cách khử dạng vô định.

* Chú ý: Đối với các hàm lượng giác thì vận dụng tương tự với số lượng giới hạn khi x tiến tới cực kì của sinx/x =1

*

* lấy một ví dụ 1: Tính giới hạn:

*

* bài xích tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

¤ bài tập 2: Tìm những giới hạn sau

*

 

*

* ví dụ 2: Tính các giới hạn

*

* bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm những giới hạn sau

*

 

*

 * Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc số lượng giới hạn vô rất (Quy tắc 1 và Quy tắc 2)

* ví dụ như 3: Tính giới hạn

*

* bài bác tập vận dụng tìm giới hạn

¤ bài tập 1: Tìm những giới hạn sau:

*

Bài tập 2: Tìm những giới hạn sau:

*

 

*

 * Phương pháp:

 - Nhóm các nhân tử chung: x - x0

 - Nhân thêm lượng liên hợp

 - Thêm, giảm số hạng vắng.

a)  với  là những đa thức cùng

 Ta đối chiếu cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

* ví dụ 4: Tính giới hạn:

• 

*
 
*

b)  với  và  là các biểu thức chứa căn đồng bậc.

- Ta sử dụng những hằng đẳng thức nhằm nhân lượng phối hợp ở tử thức và mẫu thức.

* ví dụ như 5: Tính giới hạn:

• 

*
 
*

c)  với  và 

*
 là biểu thức chứa căn ko đồng bậc.

 Giả sử: 

*
 với 
*

 Ta phân tích: 

*

* ví dụ 6: tìm giới hạn:

*

 

*
*

* bài bác tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài xích tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta cũng thường áp dụng các phương thức như những dạng trên

* Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau:

*

* bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như những dạng trên

* Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau:

*
 
*

* bài bác tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

*

* Phương pháp:

_ giả dụ P(x), Q(x) là các đa thức thì phân tách cả tử và mẫu mang lại luỹ thừa tối đa của x

_ nếu P(x), Q(x) tất cả chứa căn thì có thể chia cả tử với mẫu mang đến luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

*

* lấy một ví dụ 1: Tính những giới hạn sau

*

* bài bác tập vận dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

¤ bài bác tập 2: Tìm những giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta thường sử dụng nhân lượng liên hợp cả tử và mẫu

* lấy một ví dụ 2: Tìm các giới hạn

a)

*

*

b)

*

 

*

 

*

* bài xích tập vận dụng tìm giới hạn

¤ bài tập 1: Tìm giới hạn sau

*

¤ bài bác tập 2: Tìm số lượng giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Sử dụng tổng vừa lòng các phương pháp trên

* ví dụ 3: Tìm những giới hạn sau:

a)

*

 

*

b)

*

 

*

 

*

 Do: 

*
*

* bài xích tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm giới hạn sau

*

¤ bài xích tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

* Mối quan hệ giới tính giữa giới hạn một mặt và giới hạn tại một điểm

 

*

 - Sử dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số.

Xem thêm: ToáN LớP 5, Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 5, Giải Toán Lớp 5, Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 5

* Ví dụ 1: Tìm số lượng giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:

*

° Hướng dẫn:

*

* lấy ví dụ 2: Tìm quý giá của m để những hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:

*

° Hướng dẫn:

 

*

 

*

- Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì:

*

* bài bác tập vận dụng

¤ Bài tập 1: Tìm những giới hạn một mặt của hàm số trên điểm được chỉ ra

*

¤ bài tập 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới tại điểm được chỉ ra

*

Hy vọng cùng với phần hướng dẫn chi tiết các dạng toán giới hạn hàm số, bài tập về số lượng giới hạn hàm số sinh sống trên giúp những em nắm rõ về cách tính số lượng giới hạn hàm số và vận dụng linh hoạt vào các bài toán, mọi thắc mắc những em hãy nhằm lại phản hồi dưới nội dung bài viết để được lời giải nhé, chúc những em học tập tốt.