Khai Triển Taylor Và Ứng Dụng Khai Triển Taylor Vào Giải Toán

Bài viết này khansar.net reviews đến chúng ta đọc triết lý và lấy ví dụ minh hoạ tất cả lời giải cụ thể về khai triển Taylor dùng để xấp xỉ hàm số vày một nhiều thức:

1. Triển khai Taylor so với đa thức

Xét nhiều thức $P(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+...+a_1x+a_0,$ lúc ấy với điểm $x_0$ bất kể ta có

$P(x)=P(x_0)+fracP"(x_0)1!(x-x_0)+fracP""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracP^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n.$

Ví dụ 1: Khai triển $P(x)=x^3+x-1$ theo luỹ vượt nguyên dương của $x-1.$

Giải. Có $P"(x)=3x^2+1,P""(x)=6x,P"""(x)=6.$ Vậy

$eginarrayc P(x) = P(1) + fracP"(1)1!(x - 1) + fracP""(1)2!(x - 1)^2 + fracP"""(1)3!(x - 1)^3\ = 1 + frac41!(x - 1) + frac62!(x - 1)^2 + frac63!(x - 1)^3\ = 1 + 4(x - 1) + 3(x - 1)^2 + (x - 1)^3. endarray$

Ví dụ 2: Khai triển nhiều thức $P(x)=x^5+x^3-3x^2+1$ theo luỹ vượt nguyên dương của $x-1.$

Giải. Có $left{ eginarrayl P(x) = x^5 + x^3 - 3x^2 + 1\ P"(x) = 5x^4 + 3x^2 - 6x\ P""(x) = 20x^3 + 6x - 6\ P"""(x) = 60x^2 + 6\ P^(4)(x) = 120x\ P^(5)(x) = 120 endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl P(1) = 0\ P"(1) = 2\ P""(1) = 20\ P"""(1) = 66\ P^(4)(1) = 120\ P^(5)(1) = 120 endarray ight..$ Vậy

$eginarrayc P(x) = frac21!(x - 1) + frac202!(x - 1)^2 + frac663!(x - 1)^3 + frac1204!(x - 1)^4 + frac1205!(x - 1)^5\ = 2(x - 1) + 10(x - 1)^2 + 11(x - 1)^3 + 5(x - 1)^4 + (x - 1)^5. endarray$

2. Khai triển Taylor đối với hàm số bất kì

Khai triển Taylor với phần dư dạng Peano

Giả sử hàm số $f(x)$ gồm đạo hàm đến cấp cho $n$ trong bên cạnh $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ lúc đó:

$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+oleft< (x-x_0)^n ight>.$

công thức bên trên được điện thoại tư vấn là phương pháp khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ đến bậc $n$ tại điểm $x_0$ với phần dư dạng Peano.

Bạn đang xem: Ứng dụng khai triển taylor

$r(x)=oleft< (x-x_0)^n ight>$ được hotline là phần dư với được gọi là phần dư dạng peano.

Khai triển Mac – Laurin

Trong phương pháp khai triển Taylor với phần dư dạng peano khi $x_0=0,$ ta có

$f(x)=f(0)+fracf"(0)1!x+fracf""(0)2!x^2+...+fracf^(n)(0)n!x^n+o(x^n).$

công thức này được gọi là công thức khai triển Mac – Laurin

Khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange

Giả sử hàm số $f(x)$ tất cả đạo hàm đến cấp cho $n+1$ trong ở bên cạnh $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ khi đó:

$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ trong đó $c$ là vấn đề nào đó nằm giữa $x$ với $x_0.$

công thức trên được gọi là phương pháp khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ đến bậc $n$ tại điểm $x_0$ cùng với phần dư dạng lagrange.

$r(x)=fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ được hotline là phần dư dạng Lagrange.

3. Triển khai Mac - Laurin của một trong những hàm sơ cung cấp hay dùng

$y=e^xRightarrow y^(n)(x)=e^xRightarrow y^(n)(0)=1Rightarrow e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$$y = sin x Rightarrow y^(n)(x) = sin left( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = sin fracnpi 2 = left{ eginarrayl 0,n = 2k\ ( - 1)^k,n = 2k + 1 endarray ight..$

Vậy $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!-...+frac(-1)^n(2n+1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$

$y = cos x Rightarrow y^(n)(x) = cos xleft( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = cos fracnpi 2 = left{ eginarrayl ( - 1)^k,n = 2k\ 0,n = 2k + 1 endarray ight..$

Vậy $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$

$y=ln (1+x)Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^n-1(n-1)!(x+1)^nRightarrow y^(n)(0)=(-1)^n-1(n-1)!.$

Vậy$ln (1 + x) = x - fracx^22 + fracx^33 - ... + frac( - 1)^n - 1x^nn + o(x^n).$

$y=frac1x+1Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^nn!(x+1)^n+1Rightarrow y^(n)(0)=(-1)^nn!.$

Vậy $frac1x+1=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n).$

Ví dụ 1: Khai triển Taylor đến cấp 2 tại điểm $x=frac12$ cùng với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=arcsin x.$

Giải. Có $fleft( frac12 ight)=arcsin frac12=fracpi 6$ với $f"(x)=frac1sqrt1-x^2Rightarrow f"left( frac12 ight)=frac2sqrt3$ cùng $f""(x)=fracxsqrt(1-x^2)^3Rightarrow f""left( frac12 ight)=frac43sqrt3.$

Vậy $f(x)=fracpi 6+frac2sqrt3(x-1)+frac23sqrt3(x-1)^2+oleft< (x-1)^2 ight>.$

Ví dụ 2: Khai triển Taylor đến cấp 5 tại điểm $x=1$ với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=(x-1)^3arccos (x-1).$

Giải. Ta triển khai Taylor đến cung cấp 2 trên điểm $x=1$ với phần dư dạng peano của hàm số $g(x)=arccos (x-1).$

Có $g(1)=arccos 0=fracpi 2$ với $g"(x)=-frac1sqrt1-(x-1)^2=-frac1sqrt2x-x^2Rightarrow g"(1)=-1$ cùng $g""(x)=frac1-xsqrt(2x-x^2)^3Rightarrow g""(1)=0.$ Suy ra $g(x)=fracpi 2-(x-1)+oleft< (x-1)^2 ight>.$

Vậy $f(x)=(x-1)^3g(x)=fracpi 2(x-1)^3-(x-1)^4+oleft< (x-1)^5 ight>.$

Ví dụ 3: Khai triển hàm số $f(x)=sqrt<3>x+7$ theo luỹ vượt của $x-1$ mang lại bậc 3 với phần dư dạng peano.

Giải. Ta có

$eginarrayl f(1) = 2;\ f"(x) = frac13(x + 7)^ - frac23 Rightarrow f"(1) = frac112;\ f""(x) = - frac29(x + 7)^ - frac53 Rightarrow f""(1) = - frac1144;\ f"""(x) = frac1027(x + 7)^ - frac83 Rightarrow f"""(1) = frac53456. endarray$

Vậy $f(x)=2+frac112(x-1)-frac1288(x-1)^2+frac520736(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 4: Khai triển Mac – Laurin đến cấp 4 của hàm số $f(x)=intlimits_0^xln (1+t)dt.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(0) = 0;\ f"(x) = ln (1 + x) Rightarrow f"(0) = 0;\ f""(x) = frac11 + x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - frac1(1 + x)^2 Rightarrow f"""(0) = - 1;\ f^(4)(x) = frac2(1 + x)^3 Rightarrow f^(4)(0) = 2. endarray$

Vậy $f(x)=frac12x^2-frac16x^3+frac112x^4+o(x^4).$

Ví dụ 5: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=x^2sin 2x+3.$

Giải. Có $g(x)=sin 2x=2x-frac(2x)^33!+frac(2x)^55!-...+frac(-1)^n-1(2n-1)!(2x)^2n-1+o(x^2n-1).$

Vậy $f(x)=x^2g(x)+3=3+2x^3-frac2^33!x^5+frac2^55!x^5-...+frac(-1)^n-12^2n-1(2n-1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$

Ví dụ 6: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfrac12x+3.$

Giải. Ta có

Vậy $f(x)=frac13-frac29x+frac827x^2-frac1627x^3+...+frac(-2)^n.n!3^n+1x^n+o(x^n).$

Ví dụ 7: Khai triển Taylor theo những luỹ vượt của $x-1$ mang lại bậc ba của hàm số $f(x)=dfrac1sqrtx.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = frac1sqrt x Rightarrow f(1) = 1;\ f"(x) = - frac12x^ - frac32 Rightarrow f"(1) = - frac12;\ f""(x) = frac34x^ - frac52 Rightarrow f""(1) = frac34;\ f"""(x) = - frac158x^ - frac72 Rightarrow f"""(1) = - frac158. endarray$

Vậy $f(x)=1-frac12(x-1)+frac38(x-1)^2-frac516(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 8: Khai triển Taylor theo theo luỹ vượt của $x-1$ đến bậc cha của hàm số $f(x)=x^x-1.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = x^x - 1 Rightarrow f(1) = 0;\ f(x) = e^xln x - 1 Rightarrow f"(x) = left( ln x + 1 ight)e^xln x Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = frac1xe^xln x + left( ln x + 1 ight)^2e^xln x Rightarrow f""(1) = 2;\ f"""(x) = - frac1x^2e^xln x + frac1xleft( ln x + 1 ight)e^xln x + frac2x(ln x + 1)e^xln x + left( ln x + 1 ight)^3e^xln x Rightarrow f"""(1) = 3. endarray$

Vậy $f(x)=(x-1)+(x-1)^2+frac12(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 9: Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa của $x-2$ mang đến bậc tía của hàm số $f(x)=dfracxx-1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = fracxx - 1 Rightarrow f(2) = 2;\ f(x) = frac(x - 1) + 1x - 1 = 1 + frac1x - 1 Rightarrow f"(x) = - frac1(x - 1)^2 Rightarrow f"(2) = - 1;\ f""(x) = frac2(x - 1)^3 Rightarrow f""(2) = 2;\ f"""(x) = - frac6(x - 1)^4 Rightarrow f"""(2) = - 6. endarray$

Vậy $f(x)=2-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 10: Khai triển Taylor theo theo luỹ quá của $x-1$ đến bậc tía của hàm số $f(x)=ln (1-x+x^2).$

Giải.

$eginarrayl f(x) = ln (1 - x + x^2) Rightarrow f(1) = 0;\ f"(x) = dfrac2x - 1x^2 - x + 1 Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = - dfrac2x^2 - 2x - 1(x^2 - x + 1)^2 Rightarrow f""(1) = 1;\ f"""(x) = dfrac2(2x - 1)(x^2 - x - 2)(x^2 - x + 1)^3 Rightarrow f"""(1) = - 4. endarray$

Vậy $f(x)=(x-1)+dfrac(x-1)^22-dfrac2(x-1)^33+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 11: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^-dfracx^22.$

Giải. Xét $g(x)=e^x$ ta gồm $g(x)=e^xRightarrow g(0)=1;g^(n)(x)=e^xRightarrow g^(n)(0)=1.$

Vậy $g(x)=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$

Suy ra $f(x)=gleft( -fracx^22 ight)=1-fracx^21!.2^1+fracx^42!.2^2-fracx^63!.2^3+...+frac(-1)^nx^2nn!.2^n+o(x^2n).$

Ví dụ 12: Khai triển Mac – Laurin mang lại luỹ vượt bậc 3 của $x$ của hàm số $f(x)=e^sin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = e^sin x Rightarrow f(0) = 1;\ f"(x) = cos xe^sin x Rightarrow f"(0) = 1;\ f""(x) = - sin xe^sin x + cos ^2xe^sin x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - cos xe^sin x - sin xcos xe^sin x - 2cos xsin xe^sin x + cos ^3xe^sin x Rightarrow f"""(0) = 0. endarray$

Vậy $f(x)=1+x+fracx^22+o(x^3).$

Ví dụ 13: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^ an x$ cho bậc 5 của $x.$

Giải. Có $f(x)=1+x+fracx^22+fracx^32+frac3x^48+o(x^5).$

Ví dụ 14: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $y=xsin x^2$ cho luỹ thừa $x^11.$

Giải. Có $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!+o(x^5).$

Suy ra $sin x^2=x^2-fracx^63!+fracx^105!+o(x^10).$

Vì vậy $xsin x^2=x^3-fracx^73!+fracx^115!+o(x^11).$

Ví dụ 15:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfracx^2+5x^2+x-12.$

Có $egingathered f(x) = fracx^2 + 5x^2 + x - 12 = 1 + frac2x - 3 - frac3x + 4 = 1 - frac23frac11 - fracx3 - frac34frac11 + fracx4 \ = 1 - frac23left( 1 - left( - fracx3 ight) + left( - fracx3 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( - fracx3 ight)^n + o(x^n) ight) - frac34left( 1 - left( fracx4 ight) + left( fracx4 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( fracx4 ight)^n + o(x^n) ight) \ = - frac512 - frac5144x - frac2091728x^2 - ... + ( - 1)^nleft( - frac23left( - frac13 ight)^n - frac34left( frac14 ight)^n ight)x^n + o(x^n). \ endgathered $

Ví dụ 16:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=cos ^3x.$

Có $egingathered f(x) = cos ^3x = frac14cos 3x + frac34cos x \ = frac14left( 1 - fracleft( 3x ight)^22! + fracleft( 3x ight)^44! - ... + frac( - 1)^nleft( 3x ight)^2n(2n)! + o(x^2n) ight) + frac34left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac32x^2 + frac78x^4 - ... + ( - 1)^nfrac9^n + 34(2n)!x^2n + o(x^2n). \ endgathered $

Ví dụ 17:Khai triển Taylor của hàm số $f(x)=ln left( dfrac(x-1)^x-23-x ight)$ đếp cấp cho 4 của $x-2$ cùng với phần dư dạng Peano.

Có $egingathered f(x) = ln left( dfrac(x - 1)^x - 23 - x ight) = (x - 2)ln (x - 1) - ln (3 - x) hfill \ Rightarrow f"(x) = ln (x - 1) + fracx - 2x - 1 + frac13 - x Rightarrow f""(x) = frac1x - 1 + frac1(x - 1)^2 + frac1(x - 3)^2 hfill \ Rightarrow f"""(x) = - frac1(x - 1)^2 - frac2(x - 1)^3 - frac2(x - 3)^3 hfill \ Rightarrow f^(4)(x) = frac2(x - 1)^3 + frac6(x - 1)^4 + frac6(x - 3)^4 hfill \ Rightarrow f(2) = 0;f"(2) = 1;f""(2) = 3;f"""(2) = - 1;f^(4)(2) = 14 hfill \ Rightarrow f(x) = (x - 2) + frac32(x - 2)^2 - frac16(x - 2)^3 + frac712(x - 2)^4 + oleft( (x - 3)^4 ight). hfill \ endgathered $

4. Ứng dụng triển khai Taylor tính giới hạn của hàm số

Ví dụ 1: Tìm số thực $a$ làm thế nào để cho $undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=1.$

Giải.Cách 1: dùng Lôpitan có

$undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=undersetx o 0mathoplim ,fracdfrac2ax+1ax^2+x+1-12x=undersetx o 0mathoplim ,dfrac(2a-1)x-ax^22x(ax^2+x+1)=undersetx o 0mathoplim ,dfrac2a-1-ax2(ax^2+x+1)=dfrac2a-12.$

Vậy $dfrac2a-12=1Leftrightarrow a=dfrac32.$

5. Ứng dụng triển khai Taylor vào các dạng việc khác

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ xác minh và tất cả đạo hàm cung cấp 2 liên tục trên đoạn $<0;1>$ thoả mãn $f(0)=f(1)$ cùng $left| f""(x) ight|le A,forall xin <0;1>.$ chứng minh rằng $left| f"(x) ight|le dfracA2,forall xin <0;1>.$

Giải. Khai triển Taylor cùng với phần dư dạng lagrange có:

$eginarrayl f(0) = f(x) + f(x) + f"(x)(0 - x) + dfracf""(a)2(0 - x)^2;\ f(1) = f(x) + f"(x)(1 - x) + dfracf""(b)2(1 - x)^2. endarray$

Với $a$ là số thực nằm trong lòng $0$ với $x;b$ là số thực nằm trong lòng $1$ và $x.$

Kết hợp đưa thiết có và

Ví dụ 2: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$là hàm khả vi gấp đôi so cho với tất cả $xin left< 0,1 ight>$thì $f""(x)le 1$. Minh chứng rằng

$f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)le frac14$.

Giải. Để ý mang lại đại lượng $f(0),f(1)$ với $2fleft( frac12 ight)$ điều này làm ta suy xét đến triển khai Tayor trên $x_0=frac12$.

Khai triển Taylor ta được

$f(0)=fleft( frac12 ight)-frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_1),x_1in left( 0,frac12 ight)$ ,

và

$f(1)=fleft( frac12 ight)+frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_2),x_2in left( frac12,1 ight)$.

cộng theo vế nhị đẳng thức bên trên ta được $f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)=frac18left( f""(x_1)+f""(x_2) ight)le frac14$.

Bài toán được hội chứng minh.

Ví dụ 3: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$khả vi cấp cho 2 trên $left< 0,1 ight>$ thỏa mãn $f(0)=f(1)=a$ với $undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Chứng minh rằng

mathop extmax,f""(x)ge 8left( a-b ight)>.

Giải. Do $f$ liên tiếp trên $left< 0,1 ight>$ bắt buộc tồn tại $x_0in left< 0,1 ight>$ thế nào cho $f(x_0)=undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Theo định lý Fermat thì $f"(x_0)=0$. Khai triển Taylor ta được

$a=f(0)=f(x_0)+f"(x_0)left( 0-x_0 ight)+fracf""(x_1)2x_0^2Rightarrow a-b=fracf""(x_1)2x_0^2$ cùng với $x_1in left( 0,x_0 ight)$

Ví dụ 4: Cho $f:mathbbR o mathbbR$là hàm khả vi với đạo hàm cấp 2 dương. Chứng tỏ rằng

$fleft( x+f"(x) ight)ge f(x)$ với mọi số thực $x$.

Giải. Khai triển Taylor trên $x_0=x$ ta được

$fleft( x+f"(x) ight)=f(x)+f"(x)left( x+f"(x)-x ight)+fracf""(delta x)2left( x+f"(x)-x ight)^2$.

Suy ra $fleft( x+f"(x) ight)-f(x)=left( f"(x) ight)^2+fracf""(delta x)2left( f"(x) ight)^2ge 0$.

Bài toán được minh chứng hoàn toàn.

Xem thêm: Giáo Án Thông Tin Về Ngày Trái Đất Năm 2000 Ngữ Văn Lớp 8 Theo 5 Bước

6. Ứng dụng khai triển Taylor nhằm tính đạo hàm cấp cao tại điểm x=0.

Ví dụ 1: khai triển Mac – Laurin của hàm số từ kia tính đạo hàm $f^2019(0).$

Áp dụng công thức $e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n)$ ta có

$egingathered f(x) = left( x^3 + 1 ight)e^x^3 = x^3e^x^3 + e^x^3 \ = x^3left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n - 3(n - 1)! + o(x^3n - 3) ight) + left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n(n - 1)! + o(x^3n) ight) \ = 1 + 2x^3 + frac32x^6 + frac23x^9 + ... + left( frac1(n - 1)! + frac1n! ight)x^3n + o(x^3n). \ endgathered $

Do đó $fracf^(3n)(0)(3n)!=frac1(n-1)!+frac1n!Rightarrow f^(2019)(0)=2019!left( frac1672!+frac1673! ight).$

Ví dụ 2:Khai triển Mac – Laurin của hàm số từ kia tính đạo hàm $f^2020(0).$

Áp dụng công thức $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$

Ta có

$egingathered f(x) = (x^2 + 1)cos x = x^2cos x + cos x \ = x^2left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^n - 1x^2n - 2(2n - 2)! + o(x^2n - 2) ight) + left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac12x^2 - frac1124x^4 + ... + left( frac( - 1)^n(2n)! + frac( - 1)^n - 1(2n - 2)! ight)x^2n + o(x^2n). \ endgathered $

Do đó $fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n(2n)!+frac(-1)^n-1(2n-2)!Rightarrow f^(2020)(0)=2020!left( frac12020!-frac12018! ight).$

Ví dụ 3: triển khai Mac – Laurin của hàm số $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)$ từ kia tính $f^(2020)(0).$

Áp dụng công thức: $ln (1+x)=x-fracx^22+fracx^33-...+frac(-1)^n-1x^nn+o(x^n).$

Do đó $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)=x^2-fracx^42+fracx^63-...+frac(-1)^n-1x^2nn+o(x^2n)Rightarrow fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n-1nRightarrow f^(2020)(0)=-frac2020!1010.$

7. Ứng dụng triển khai Taylor với phần dư dạng Lagrange tính gần đúng giá trị biểu thức

23/04/2022

Ứng Dụng Khai Triển Taylor

1. Triển khai Taylor so với đa thức

2. Khai triển Taylor đối với hàm số bất kì

Khai triển Taylor với phần dư dạng Peano

Khai triển Mac – Laurin

Khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange

3. Triển khai Mac - Laurin của một trong những hàm sơ cung cấp hay dùng

4. Ứng dụng triển khai Taylor tính giới hạn của hàm số

5. Ứng dụng triển khai Taylor vào các dạng việc khác

Ví dụ 1: khai triển Mac – Laurin của hàm số từ kia tính đạo hàm $f^2019(0).$

Ví dụ 2:Khai triển Mac – Laurin của hàm số từ kia tính đạo hàm $f^2020(0).$

Ví dụ 3: triển khai Mac – Laurin của hàm số $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)$ từ kia tính $f^(2020)(0).$